24.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,其概率密度为f_(x)(x)=}(1)/(5)e^-x/5,&x>0,0,&(其他).某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开.他一个月要到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求P(Y≥1).

为了解决这个问题，我们需要遵循以下步骤： 1. 确定顾客等待时间超过10分钟的概率。 2. 确定随机变量 $ Y $ 的分布律。 3. 计算概率 $ P(Y \geq 1) $。 ### 第1步：确定顾客等待时间超过10分钟的概率 顾客的等待时间 $ X $ 服从指数分布，其概率密度函数为： \[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{5} e^{-x/5}, & x > 0, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} \] 顾客等待时间超过10分钟的概率为： \[ P(X > 10) = \int_{10}^{\infty} f_X(x) \, dx = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5} e^{-x/5} \, dx. \] 为了解这个积分，我们使用指数函数的积分公式： \[ \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5} e^{-x/5} \, dx = \left[ -e^{-x/5} \right]_{10}^{\infty} = 0 - (-e^{-10/5}) = e^{-2} = \frac{1}{e^2}. \] 因此，顾客等待时间超过10分钟的概率为： \[ P(X > 10) = e^{-2}. \] ### 第2步：确定随机变量 $ Y $ 的分布律 随机变量 $ Y $ 表示一个月内顾客未等到服务而离开窗口的次数。由于顾客在每次访问中未等到服务而离开的概率为 $ e^{-2} $，且顾客一个月内访问银行5次，$ Y $ 服从二项分布，参数为 $ n = 5 $ 和 $ p = e^{-2} $。 二项随机变量的概率质量函数为： \[ P(Y = k) = \binom{5}{k} (e^{-2})^k (1 - e^{-2})^{5-k}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. \] ### 第3步：计算概率 $ P(Y \geq 1) $ 概率 $ P(Y \geq 1) $ 是顾客至少有一次未等到服务而离开的概率。这可以计算为： \[ P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0). \] 首先，我们计算 $ P(Y = 0) $： \[ P(Y = 0) = \binom{5}{0} (e^{-2})^0 (1 - e^{-2})^5 = 1 \cdot 1 \cdot (1 - e^{-2})^5 = (1 - e^{-2})^5. \] 因此， \[ P(Y \geq 1) = 1 - (1 - e^{-2})^5. \] 将 $ e^{-2} \approx 0.1353 $ 代入，我们得到： \[ 1 - e^{-2} \approx 1 - 0.1353 = 0.8647, \] \[ (1 - e^{-2})^5 \approx 0.8647^5 \approx 0.4882, \] \[ P(Y \geq 1) \approx 1 - 0.4882 = 0.5118. \] 因此，概率 $ P(Y \geq 1) $ 为： \[ \boxed{1 - (1 - e^{-2})^5}. \]