题目
设dfrac(x)({x)^2 -3x+1} =1，求dfrac({x)^3}({x)^6-27(x)^3+1}的值.
设$\dfrac{x}{{x}^{2} -3x+1} =1$，求$\dfrac{{x}^{3}}{{x}^{6}-27{x}^{3}+1}$的值.
题目解答
答案
$\dfrac{1}{25}$
解析
步骤 1：化简已知条件
已知条件为 $\dfrac{x}{{x}^{2} -3x+1} =1$，可以化简为 ${x}^{2} -3x+1 = x$，即 ${x}^{2} -4x+1 = 0$。
步骤 2：求解$x^2$的表达式
由步骤1得到的方程${x}^{2} -4x+1 = 0$，可以解出$x^2 = 4x - 1$。
步骤 3：求解$x^3$的表达式
由$x^2 = 4x - 1$，两边同时乘以$x$，得到$x^3 = 4x^2 - x$，再将$x^2 = 4x - 1$代入，得到$x^3 = 4(4x - 1) - x = 16x - 4 - x = 15x - 4$。
步骤 4：求解$x^6$的表达式
由$x^3 = 15x - 4$，两边同时平方，得到$x^6 = (15x - 4)^2 = 225x^2 - 120x + 16$，再将$x^2 = 4x - 1$代入，得到$x^6 = 225(4x - 1) - 120x + 16 = 900x - 225 - 120x + 16 = 780x - 209$。
步骤 5：求解目标表达式
将$x^3 = 15x - 4$和$x^6 = 780x - 209$代入$\dfrac{{x}^{3}}{{x}^{6}-27{x}^{3}+1}$，得到$\dfrac{15x - 4}{780x - 209 - 27(15x - 4) + 1} = \dfrac{15x - 4}{780x - 209 - 405x + 108 + 1} = \dfrac{15x - 4}{375x - 100} = \dfrac{15x - 4}{25(15x - 4)} = \dfrac{1}{25}$。
已知条件为 $\dfrac{x}{{x}^{2} -3x+1} =1$，可以化简为 ${x}^{2} -3x+1 = x$，即 ${x}^{2} -4x+1 = 0$。
步骤 2：求解$x^2$的表达式
由步骤1得到的方程${x}^{2} -4x+1 = 0$，可以解出$x^2 = 4x - 1$。
步骤 3：求解$x^3$的表达式
由$x^2 = 4x - 1$，两边同时乘以$x$，得到$x^3 = 4x^2 - x$，再将$x^2 = 4x - 1$代入，得到$x^3 = 4(4x - 1) - x = 16x - 4 - x = 15x - 4$。
步骤 4：求解$x^6$的表达式
由$x^3 = 15x - 4$，两边同时平方，得到$x^6 = (15x - 4)^2 = 225x^2 - 120x + 16$，再将$x^2 = 4x - 1$代入，得到$x^6 = 225(4x - 1) - 120x + 16 = 900x - 225 - 120x + 16 = 780x - 209$。
步骤 5：求解目标表达式
将$x^3 = 15x - 4$和$x^6 = 780x - 209$代入$\dfrac{{x}^{3}}{{x}^{6}-27{x}^{3}+1}$，得到$\dfrac{15x - 4}{780x - 209 - 27(15x - 4) + 1} = \dfrac{15x - 4}{780x - 209 - 405x + 108 + 1} = \dfrac{15x - 4}{375x - 100} = \dfrac{15x - 4}{25(15x - 4)} = \dfrac{1}{25}$。