设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-.f(x,y)= { xy 0, . , lt xlt 1,0lt ylt 2-|||-其它-|||-则随机变量X的边缘概率密度函数为 ()

本题考查二维随机变量边缘概率密度函数的计算。解题思路是根据边缘概率密度函数的定义，对于二维随机变量$(X,Y)$，随机变量$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$是通过对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$y$在其取值范围内进行积分得到的。

已知二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}x^{2}+\dfrac{1}{3}xy, & 0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 2 \\ 0, & 其它\end{cases}$。
根据边缘概率密度函数的计算公式$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，分情况进行讨论：

• 当$0\lt x\lt 1$时：
  此时$f(x,y)=x^{2}+\dfrac{1}{3}xy$，对$y$在$(0,2)$上积分，可得：
  $\begin{align*}f_X(x)&=\int_{0}^{2}(x^{2}+\dfrac{1}{3}xy)dy\\&=\int_{0}^{2}x^{2}dy+\int_{0}^{2}\dfrac{1}{3}xydy\\&=x^{2}\int_{0}^{2}dy+\dfrac{1}{3}x\int_{0}^{2}ydy\\&=x^{2}\cdot y\big|_{0}^{2}+\dfrac{1}{3}x\cdot\dfrac{1}{2}y^{2}\big|_{0}^{2}\\&=x^{2}\cdot(2 - 0)+\dfrac{1}{6}x\cdot(2^{2}-0^{2})\\&=2x^{2}+\dfrac{2}{3}x\end{align*}$
• 当$x\notin(0,1)$时：
  因为$f(x,y)=0$，所以$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dy = 0$。

综上，随机变量$X$的边缘概率密度函数为$f_X(x)=\begin{cases}2x^{2}+\dfrac{2}{3}x, & 0\lt x\lt 1 \\ 0, & 其它\end{cases}$。