三、计算题（共4题，50.0分）18.（计算题，15.0分）（本题15分）求线性方程组}x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)=0x_(2)+2x_(3)+2x_(4)=1x_(1)+2x_(2)+3x_(3)+3x_(4)=1的通解。（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）

考查要点：本题主要考查线性方程组的通解求解，涉及非齐次方程组的特解和齐次方程组基础解系的求解方法。

解题思路：

1. 化简增广矩阵：通过行变换将方程组转化为阶梯形矩阵，确定主变量和自由变量。
2. 求导出组的基础解系：将齐次方程组的解用自由变量表示，构造基础解系。
3. 求非齐次方程组的特解：通过设定自由变量的特定值，解出一组特解。
4. 组合通解：将特解与基础解系的线性组合结合，得到通解。

关键点：

• 行变换化简是求解的核心步骤，需正确确定主变量和自由变量。
• 基础解系的构造需确保解的线性无关性。
• 特解的选取应满足非齐次方程组的所有方程。

步骤1：化简增广矩阵

原方程组的增广矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\1 & 2 & 3 & 3 & 1\end{pmatrix}$
通过行变换（第三行减去第一行，再减去第二行），化简为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 & -1 \\0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

步骤2：求导出组的基础解系

齐次方程组对应的系数矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\0 & 1 & 2 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
设自由变量 $x_3 = s$，$x_4 = t$，解得：
$\begin{cases}x_1 = s + t \\x_2 = -2s - 2t\end{cases}$
基础解系为：
$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

步骤3：求非齐次方程组的特解

令自由变量 $x_3 = 0$，$x_4 = 0$，解得：
$\begin{cases}x_1 = -1 \\x_2 = 1\end{cases}$
特解为：
$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

步骤4：组合通解

通解为特解与基础解系的线性组合：
$\boxed{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }$