int_(a)^b f(x)dx = int_(a)^c f(x)dx + int_(c)^b f(x)dx 成立，则 c 必须满足()A. a, b, c 为任意三个正实数B. a C. c 为任意常数D. a

本题考查定积分的可加性这一知识点。解题思路是依据定积分的定义和性质来分析$c$的取值范围。

根据定积分的定义，定积分$\int_{a}^{b} f(x)dx$表示的是由函数$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的代数和。

对于$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$，我们分以下几种情况来讨论$c$的取值：

• 情况一：$c$在区间$[a,b]$内，即$a\leqslant c\leqslant b$
  此时$\int_{a}^{b} f(x)dx$所表示的曲边梯形的面积可以看作是$\int_{a}^{c} f(x)dx$与$\int_{c}^{b} f(x)dx$所表示的两个曲边梯形面积之和，等式$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$显然成立。
• 情况二：$c\lt a$
  根据定积分的性质$\int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx$，则$\int_{a}^{c} f(x)dx = -\int_{c}^{a} f(x)dx$。
  那么$\int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx=-\int_{c}^{a} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx$，等式依然成立。
• 情况三：$c\gt b$
  同样根据定积分的性质$\int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx$，$\int_{c}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{c} f(x)dx$。
  所以$\int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx-\int_{b}^{c} f(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx$，等式还是成立。

综上，无论$c$取何值，等式$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$都成立，即$c$为任意常数。