题目
8.33 一半径为R的均匀带电球体,其电荷的体密度为ρ.求(1)球外任一点的电势;(2)球-|||-表面上的电势;(3)球内任一点的电势.
题目解答
答案
8.33\\frac{\\rho R^{3}}{2 e_{0}r}(r>R),\\frac{\\rho R^{2}}{2 e_{0}}(r=R),\\frac{\\rho}{2 e_{0}}(3 R^{2}-r^{2})(r
解析
步骤 1：球外任一点的电势
球外任一点的电势可以通过高斯定理求解。对于球外任一点，电荷分布可以视为一个点电荷，其电荷量为球体的总电荷量。球体的总电荷量为 \(Q = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho\)。根据点电荷的电势公式，球外任一点的电势为 \(V_{\text{外}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r}\)。
步骤 2：球表面上的电势
球表面上的电势可以通过将球外任一点的电势公式中的 \(r\) 替换为 \(R\) 来求得。因此，球表面上的电势为 \(V_{\text{表}} = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 R} = \frac{\rho R^2}{3 \varepsilon_0}\)。
步骤 3：球内任一点的电势
球内任一点的电势可以通过高斯定理求解。对于球内任一点，电荷分布可以视为一个半径为 \(r\) 的均匀带电球体。球内任一点的电势为 \(V_{\text{内}} = \frac{Q_{\text{内}}}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\rho r^2}{3 \varepsilon_0}\)。但是，球内任一点的电势还应该加上球外部分的电势，即 \(V_{\text{内}} = \frac{\rho r^2}{3 \varepsilon_0} + \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r} - \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 R} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0}(3R^2 - r^2)\)。
球外任一点的电势可以通过高斯定理求解。对于球外任一点，电荷分布可以视为一个点电荷，其电荷量为球体的总电荷量。球体的总电荷量为 \(Q = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho\)。根据点电荷的电势公式，球外任一点的电势为 \(V_{\text{外}} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r}\)。
步骤 2：球表面上的电势
球表面上的电势可以通过将球外任一点的电势公式中的 \(r\) 替换为 \(R\) 来求得。因此，球表面上的电势为 \(V_{\text{表}} = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 R} = \frac{\rho R^2}{3 \varepsilon_0}\)。
步骤 3：球内任一点的电势
球内任一点的电势可以通过高斯定理求解。对于球内任一点，电荷分布可以视为一个半径为 \(r\) 的均匀带电球体。球内任一点的电势为 \(V_{\text{内}} = \frac{Q_{\text{内}}}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{\rho r^2}{3 \varepsilon_0}\)。但是，球内任一点的电势还应该加上球外部分的电势，即 \(V_{\text{内}} = \frac{\rho r^2}{3 \varepsilon_0} + \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 r} - \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 R} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0}(3R^2 - r^2)\)。