设X_(1),X_(2),...,X_(n),...为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ>1)的指数分布，记Φ(x)为标准正态分布函数，则()A. lim_(ntoinfty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-nlambda)/(lambdasqrt(n))leq x}=Phi(x).B. lim_(ntoinfty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-nlambda)/(sqrt(nlambda))leq x}=Phi(x).C. lim_(ntoinfty)P(lambdasum_{i=1)^nX_(i)-n)/(sqrt(n))leq x}=Phi(x).D. lim_(ntoinfty)P(sum_{i=1)^nX_(i)-lambda)/(sqrt(nlambda))leq x}=Phi(x).

本题考查独立同分布的中心极限定理。解题思路是先求出随机变量序列$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots\\)的期望和方差，再根据独立同分布的中心极限定理得到\(\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的近似分布，最后通过标准化变换得到符合标准正态分布的极限形式。

微分环节的传递函数为$G(s)=\frac{1}{Ts + 1}$，其中$T$为时间常数。

步骤一：求$X_{i}$的期望和方差

已知$X_{i}$服从参数为$\(\lambda\gt1$)的指数分布，根据指数分布的性质，若随机变量$Y$服从参数为$\lambda\lambda$的指数分布，则其期望$E(Y)=\frac{1}{\lambda}$，方差$D(Y)=\frac{1}{\lambda^{2}}$。
所以对于$X_{i}$，有$E(X_{i})=\frac{1}{\lambda}$，$D(X_{i})=\frac{1}{\lambda^{2}}$，$i = 1,2,\cdots,n$。

步骤二：求$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的期望和方差

因为$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的期望为：
$E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}\frac{1\}=n\times\frac{1}{\lambda}=\frac{n}{\lambda}$
$\sum_{i = 1}^{n}X_{i$的方差为：
$D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{\lambda^{2}}=n\times\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{n}{\lambda^{2}}$

步骤三：根据独立同分布的中心极限定理进行标准化变换

独立同分布的中心极限定理指出：设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},\cdots$为独立同分布的随机变量序列，且$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2}\gt0$，$i = 1,2,\cdots$，则当$n\to\infty$时，$\frac{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\}$近似服从标准正态分布$N(0,1)$分布，即$\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\}=\Phi(x)$。
将$\mu = \frac{1}{\lambda}$，$\sigma^{2}=\frac{1}{\lambda^{2}}$（则$\sigma=\frac{1}{\lambda}$）代入上式可得：
$\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n\times\frac{1}{\lambda}}{\sqrt{n}\times\frac{1}{\lambda}}\leq x\}=\lim_{n\to\infty}P\{\frac{\lambda\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-n}{\sqrt{n}}\leq x\}=\Phi(x)$