设向量 alpha_(1)=} a 1 -1 1 线性相关, 且其中任意两个向量均线性无关, 则 ab= ____.

我们来分析这道题：

题目解析

给定三个四维向量：

$\alpha_1 = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \\ a \end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

条件：

1. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关；
2. 任意两个向量均线性无关。

要求：求 $ ab = ? $

第一步：线性相关意味着什么？

三个向量线性相关，说明它们的秩小于3，即：

$\text{rank}(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) < 3$

换句话说，这三个向量构成的矩阵的秩最多为2。

第二步：构造矩阵

将这三个向量作为列向量组成一个 $4 \times 3$ 矩阵 $A$：

$A = \begin{bmatrix}a & 1 & 1 \\1 & 1 & a \\-1 & b & -1 \\1 & a & 1\end{bmatrix}$

我们要找的是使得这个矩阵的秩小于3的 $a$ 和 $b$ 的关系，即：

$\text{rank}(A) < 3$

第三步：使用行列式判断线性相关

因为 $A$ 是 $4 \times 3$ 矩阵，秩小于3，说明任意一个 $3 \times 3$ 的子矩阵的行列式都为0。

我们可以任选一个 $3 \times 3$ 的子矩阵，比如前3行：

$M = \begin{bmatrix}a & 1 & 1 \\1 & 1 & a \\-1 & b & -1\end{bmatrix}$

计算它的行列式：

$\det(M) = a \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ b & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & b \end{vmatrix}$

分别计算三个2阶行列式：

• $\begin{vmatrix} 1 & a \\ b & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (a)(b) = -1 - ab$
• $\begin{vmatrix} 1 & a \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (a)(-1) = -1 + a$
• $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & b \end{vmatrix} = (1)(b) - (1)(-1) = b + 1$

代入：

$\det(M) = a(-1 - ab) - 1(-1 + a) + 1(b + 1)$

展开：

$= -a - a^2b + 1 - a + b + 1 = -a^2b - 2a + b + 2$

令其为0：

$-a^2b - 2a + b + 2 = 0 \quad \text{（式1）}$

第四步：任意两个向量均线性无关

我们来验证任意两个向量均线性无关。

1. $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 线性无关

判断它们是否线性无关，只需判断它们是否不成比例。

$\alpha_1 = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \\ a \end{pmatrix}$

如果存在常数 $k$ 使得 $\alpha_1 = k \alpha_2$，那么：

$\begin{cases}a = k \cdot 1 \Rightarrow k = a \\1 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 1\end{cases} \Rightarrow a = 1$

所以只有当 $a = 1$ 时，$\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 才可能成比例。

我们暂时记住这个结果，继续看其他组合。

2. $\alpha_1$ 与 $\alpha_3$

$\alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

同样，判断是否成比例：

$\begin{cases}a = k \cdot 1 \Rightarrow k = a \\1 = k \cdot a \Rightarrow k = \frac{1}{a}\end{cases} \Rightarrow a = \frac{1}{a} \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$

所以只有当 $a = \pm 1$ 时，$\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 才可能成比例。

3. $\alpha_2$ 与 $\alpha_3$

$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \\ a \end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

判断是否成比例：

$\begin{cases}1 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 1 \\1 = k \cdot a \Rightarrow a = 1\end{cases} \Rightarrow a = 1$

所以只有当 $a = 1$ 时，$\alpha_2$ 和 $\alpha_3$ 才可能成比例。

第五步：结合条件分析

我们要求的是：三个向量线性相关，但任意两个均线性无关。

也就是说，不能有任意两个向量成比例，否则它们线性相关，就违背了“任意两个均线性无关”的条件。

所以，不能有 $a = 1$ 或 $a = -1$，否则会有两个向量成比例。

第六步：回到行列式方程

我们之前得到：

$-a^2b - 2a + b + 2 = 0$

整理一下：

$-a^2b + b = 2a - 2 \Rightarrow b(1 - a^2) = 2(a - 1)$

两边都除以 $a - 1$（前提是 $a \ne 1$，我们已经排除了 $a = 1$）：

$b(1 + a) = -2 \Rightarrow b = \frac{-2}{1 + a}$

所以：

$ab = a \cdot \frac{-2}{1 + a} = \frac{-2a}{1 + a}$

第七步：代入验证

我们可以尝试代入一些值，使得 $a \ne \pm 1$，并使得这个表达式有意义。

比如，令 $a = 0$，则：

$ab = \frac{-2 \cdot 0}{1 + 0} = 0$

验证一下是否满足所有条件：

• $\alpha_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
• $\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \\ 0 \end{pmatrix}$
• $\alpha_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

任意两个向量是否线性无关？

• $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$：不成比例；
• $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$：不成比例；
• $\alpha_2$ 和 $\alpha_3$：不成比例；

所以满足“任意两个均线性无关”。

而三者线性相关，因为它们构成的矩阵秩小于3。

所以 满足所有条件。

最终答案

$\boxed{ab = 0}$