15.证明平面上三条不同的直线 ax+by+c=0, bx+cy+a=0, cx+ay+b=0 相交于一点的充分必要条件是 a+b+c=0.

考查要点：本题主要考查直线交点的条件及代数方程组的解的存在性。需要理解三条直线共点的充要条件，并通过代数运算推导出参数关系。

解题核心思路：

1. 必要性：若三条直线共点，则联立方程后必然存在公共解，通过联立方程并消元，推导出参数关系。
2. 充分性：若参数满足$a+b+c=0$，则可验证存在公共解（如点$(1,1)$），从而证明三条直线共点。

破题关键点：

• 联立方程相加：将三条方程相加，利用对称性得到$(a+b+c)(x+y+1)=0$，从而关联参数与变量。
• 分类讨论：若$a+b+c \neq 0$，则$x+y=-1$，但结合其他方程会导致矛盾，故必须$a+b+c=0$。

步骤1：联立三条直线方程
假设三条直线相交于点$(x, y)$，则满足：
$\begin{cases}ax + by + c = 0 \quad (1) \\bx + cy + a = 0 \quad (2) \\cx + ay + b = 0 \quad (3)\end{cases}$

步骤2：方程相加
将$(1)$、$(2)$、$(3)$相加，得：
$(a+b+c)x + (a+b+c)y + (a+b+c) = 0 \\ \Rightarrow (a+b+c)(x+y+1) = 0$
因此，若$a+b+c \neq 0$，则$x+y+1=0$；若$a+b+c=0$，则方程自动成立。

步骤3：分析必要性
若$a+b+c \neq 0$，则$x+y=-1$。将$y=-1-x$代入$(1)$和$(2)$，解得：
$x = \frac{b-c}{a-b}, \quad x = \frac{c-a}{b-c}$
令两者相等，化简得$a=b=c$，但与“三条直线不同”矛盾。因此必须$a+b+c=0$。

步骤4：验证充分性
若$a+b+c=0$，取点$(1,1)$代入三条方程：
$a(1) + b(1) + c = a+b+c = 0 \\ b(1) + c(1) + a = b+c+a = 0 \\ c(1) + a(1) + b = c+a+b = 0$
均成立，故三条直线交于$(1,1)$。