函数 f (x)= sqrt[3](8x - x^2)，则()A. 在任意闭区间 [a, b] 上罗尔定理一定成立B. 在 [0, 8] 上罗尔定理不成立C. 在 [0, 8] 上罗尔定理成立D. 在任意闭区间上罗尔定理都不成立

本题考查罗尔定理的应用，需先明确罗尔定理的条件：若函数$f(x)$满足：①在闭区间$[a,b]$上连续；②在开区间$(a,b)$内可导；③$f(a)=ff(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得\(ξ)=0。 ## **步骤1：分析函数$f(x)=\sqrt[3]{8x - x^2}$的性质连续性
\罗$f(x)=\sqrt[3]{u(x)}$的形式，其中$u(x)=8x - x^2$是多项式函数，在$\mathbb{R}$上连续；立方根函数$\sqrt[3]{u}$在$\(-\infty,+\infty)$上连续，故$f(x)$在$\mathbb{R}$上连续，自然在\([0,8])上连续。 ## **步骤2：分析函数$f(x)$在$(0,8)$内的可导性
对$f(x)$求导：
$f'(x)=\frac{1}{3}(8x - x^2)^{-2/3}\cdot(8 - 2x)=\frac{8 - 2x}{3\sqrt[3]{(8x - x^2)^2}}$
分母$3\sqrt[3]{(8x - x^2)^2}$2})在$8x - x^2\neq0$时非零，即$x\in(0,8)$时，$8x - x^2=x(8 - x)>0$，分母有意义，故$f(x)$在(0,8))内可导。

步骤3：验证$f(0)=f(8)$

计算端点值：
$f(0)=\sqrt[3]{0}=0,\quad f(8)=\sqrt[3]{8\times8 - 8^2}=\sqrt[3]{0}=0$
故$f(0)=f(8)$。

**综上，$f(x)$在$[0,8]$上满足罗尔定理的所有条件，因此罗尔定理成立。