证明 u = x^2 - 2xy - y^2 是调和函数，并求解析函数 f(z) = u + iv 使得 f(1) = 1 + i.

1. 证明 $ u $ 是调和函数
   $ u = x^2 - 2xy - y^2 $，计算二阶偏导数：
   $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2$
   拉普拉斯方程：
   $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 - 2 = 0$
   故 $ u $ 是调和函数。

2. 求解析函数 $ f(z) = u + iv $
   由柯西-黎曼方程：
   $\frac{\partial v}{\partial y} = 2x - 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2x + 2y$
   积分得：
   $v = 2xy - y^2 + g(x), \quad g'(x) = 2x \Rightarrow g(x) = x^2 + C$
   故 $ v = x^2 + 2xy - y^2 + C $。

3. 确定常数 $ C $
   由 $ f(1) = 1 + i $，得 $ C = 0 $。

4. 解析函数
   $f(z) = (x^2 - 2xy - y^2) + i(x^2 + 2xy - y^2) = (1 + i)z^2$

答案：
$\boxed{(1 + i)z^2}$（或$\boxed{(x^2 - 2xy - y^2) + i(x^2 + 2xy - y^2)}$）