题目

证明 u = x^2 - 2xy - y^2 是调和函数，并求解析函数 f(z) = u + iv 使得 f(1) = 1 + i.

证明 $u = x^2 - 2xy - y^2$ 是调和函数，并求解析函数 $f(z) = u + iv$ 使得 $f(1) = 1 + i$.

题目解答

答案

  1. 证明 $ u $ 是调和函数
    $ u = x^2 - 2xy - y^2 $，计算二阶偏导数：
    $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2$
    拉普拉斯方程：
    $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 2 - 2 = 0$
    故 $ u $ 是调和函数。

  2. 求解析函数 $ f(z) = u + iv $
    由柯西-黎曼方程：
    $\frac{\partial v}{\partial y} = 2x - 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2x + 2y$
    积分得：
    $v = 2xy - y^2 + g(x), \quad g'(x) = 2x \Rightarrow g(x) = x^2 + C$
    故 $ v = x^2 + 2xy - y^2 + C $。

  3. 确定常数 $ C $
    由 $ f(1) = 1 + i $，得 $ C = 0 $。

  4. 解析函数
    $f(z) = (x^2 - 2xy - y^2) + i(x^2 + 2xy - y^2) = (1 + i)z^2$

答案：
$\boxed{(1 + i)z^2}$（或$\boxed{(x^2 - 2xy - y^2) + i(x^2 + 2xy - y^2)}$）

解析

本题主要考察调和函数的判定以及解析函数的求解。解题思路如下：

  1. 判定调和函数：对于一个二元函数 $u(x,y)$，若它满足拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$，则该函数为调和函数。所以我们需要先求出 $u = x^2 - 2xy - y^2$ 的二阶偏导数 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 和 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$，然后验证它们的和是否为 0。
    • 首先求一阶偏导数：
      • 对 $x$ 求偏导数，将 $y$ 看作常数，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 2xy - y^2)=2x - 2y$。
      • 对 $y$ 求偏导数，将 $x$ 看作常数，可得 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - 2xy - y^2)=-2x - 2y$。
    • 然后求二阶偏导数：
      • 对 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 再关于 $x$ 求偏导数，$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}(2x - 2y)=2$。
      • 对 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 再关于 $y$ 求偏导数，$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x - 2y)=-2$。
    • 最后验证拉普拉斯方程：
      • 将 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=2$ 和 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-2$ 代入拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$，可得 $2+( - 2)=0$，所以 $u$ 是调和函数。
  2. 求解解析函数 $f(z)=u + iv$：
    • 根据柯西 - 黎曼方程 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$，已知 $\frac{\partial u}{\partial x}=2x - 2y$，$\frac{\partial u}{\partial y}=-2x - 2y$，则可得 $\frac{\partial v}{\partial y}=2x - 2y$，$\frac{\partial v}{\partial x}=2x + 2y$。
    • 由 $\frac{\partial v}{\partial y}=2x - 2y$ 对 $y$ 积分，将 $x$ 看作常数，可得 $v=\int(2x - 2y)dy=2xy - y^2+g(x)$，其中 $g(x)$ 是关于 $x$ 的待定函数。
    • 对 $v = 2xy - y^2+g(x)$ 关于 $x$ 求偏导数，可得 $\frac{\partial v}{\partial x}=2y+g^\prime(x)$。
    • 又因为 $\frac{\partial v}{\partial x}=2x + 2y$，所以 $2y+g^\prime(x)=2x + 2y$，即 $g^\prime(x)=2x$。
    • 对 $g^\prime(x)=2x$ 积分，可得 $g(x)=\int 2xdx=x^2 + C$，其中 $C$ 为常数。
    • 所以 $v = x^2 + 2xy - y^2 + C$。
  3. 确定常数 $C$：
    • 已知 $f(1)=1 + i$，即当 $x = 1$，$y = 0$ 时，$f(1)=u(1,0)+iv(1,0)=1 + i$。
    • 先求 $u(1,0)$：将 $x = 1$，$y = 0$ 代入 $u = x^2 - 2xy - y^2$，可得 $u(1,0)=1^2-2\times1\times0 - 0^2 = 1$。
    • 再求 $v(1,0)$：将 $x = 1$，$y = 0$ 代入 $v = x^2 + 2xy - y^2 + C$，可得 $v(1,0)=1^2+2\times1\times0 - 0^2 + C=1 + C$。
    • 因为 $f(1)=u(1,0)+iv(1,0)=1+(1 + C)i=1 + i$，所以 $1 + C = 1$，解得 $C = 0$。
  4. 得到解析函数 $f(z)$：
    • 把 $C = 0$ 代入 $f(z)=u + iv$，可得 $f(z)=(x^2 - 2xy - y^2)+i(x^2 + 2xy - y^2)$。
    • 又因为 $z=x + iy$，$z^2=(x + iy)^2=x^2+2ixy+(iy)^2=x^2 - y^2+2ixy$，所以 $f(z)=(1 + i)z^2$。