题目
lim_(x arrow + infty)(x^2+y^2)sin (3)/(x^2)+y^(2) A. 0B. 3C. 1/3D. ∞
$$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}(x^{2}+y^{2})\sin \frac{3}{x^{2}+y^{2}}$ $$
A. 0
B. 3
C. 1/3
D. ∞
题目解答
答案
B. 3
解析
步骤 1：定义变量
令 $u = x^{2} + y^{2}$，则原式变为 $\lim_{u \rightarrow + \infty} u \sin \frac{3}{u}$。
步骤 2：应用极限性质
根据极限的性质，当 $u \rightarrow +\infty$ 时，$\frac{3}{u} \rightarrow 0$。因此，$\sin \frac{3}{u} \rightarrow \sin 0 = 0$。
步骤 3：应用极限乘法法则
根据极限乘法法则，$\lim_{u \rightarrow + \infty} u \sin \frac{3}{u} = \lim_{u \rightarrow + \infty} u \cdot \lim_{u \rightarrow + \infty} \sin \frac{3}{u} = +\infty \cdot 0$。
步骤 4：应用等价无穷小替换
当 $u \rightarrow +\infty$ 时，$\sin \frac{3}{u}$ 可以用 $\frac{3}{u}$ 替换，因为 $\sin x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时与 $x$ 等价。因此，$\lim_{u \rightarrow + \infty} u \sin \frac{3}{u} = \lim_{u \rightarrow + \infty} u \cdot \frac{3}{u} = 3$。
令 $u = x^{2} + y^{2}$，则原式变为 $\lim_{u \rightarrow + \infty} u \sin \frac{3}{u}$。
步骤 2：应用极限性质
根据极限的性质，当 $u \rightarrow +\infty$ 时，$\frac{3}{u} \rightarrow 0$。因此，$\sin \frac{3}{u} \rightarrow \sin 0 = 0$。
步骤 3：应用极限乘法法则
根据极限乘法法则，$\lim_{u \rightarrow + \infty} u \sin \frac{3}{u} = \lim_{u \rightarrow + \infty} u \cdot \lim_{u \rightarrow + \infty} \sin \frac{3}{u} = +\infty \cdot 0$。
步骤 4：应用等价无穷小替换
当 $u \rightarrow +\infty$ 时，$\sin \frac{3}{u}$ 可以用 $\frac{3}{u}$ 替换，因为 $\sin x$ 在 $x \rightarrow 0$ 时与 $x$ 等价。因此，$\lim_{u \rightarrow + \infty} u \sin \frac{3}{u} = \lim_{u \rightarrow + \infty} u \cdot \frac{3}{u} = 3$。