题目

1-17 一质点在xy平面上运动,运动学方程为-|||-=3t+5, =dfrac (1)(2)(t)^2+3t-4 SI单位).求:-|||-(1)质点运动的轨迹方程;-|||-(2)质点速度矢量的表达式;-|||-(3)加速度矢量的表达式.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查质点运动学的基本概念，包括轨迹方程的求解、速度矢量和加速度矢量的计算。
解题思路：

  1. 轨迹方程：通过消去时间参数$t$，将$x(t)$和$y(t)$联立，得到$y$与$x$的关系式。
  2. 速度矢量：对$x(t)$和$y(t)$分别关于时间$t$求导，得到速度分量$v_x$和$v_y$。
  3. 加速度矢量：对速度分量$v_x$和$v_y$再次关于时间$t$求导。
    关键点：
  • 消参法是求轨迹方程的核心方法。
  • 导数运算需注意微分规则，尤其是二次项的处理。

第（1）题：轨迹方程

  1. 消去时间$t$
    由$x = 3t + 5$，解得$t = \dfrac{x - 5}{3}$。
  2. 代入$y(t)$
    将$t = \dfrac{x - 5}{3}$代入$y = \dfrac{1}{2}t^2 + 3t - 4$：
    $y = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x - 5}{3}\right)^2 + 3\left(\dfrac{x - 5}{3}\right) - 4$
  3. 化简表达式
    展开并整理得：
    $y = \dfrac{1}{18}x^2 + \dfrac{4}{9}x - \dfrac{137}{18}$

第（2）题：速度矢量

  1. 求$x$分量的速度
    $v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(3t + 5) = 3$。
  2. 求$y$分量的速度
    $v_y = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{1}{2}t^2 + 3t - 4\right) = t + 3$。
  3. 合成速度矢量
    $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 3\hat{i} + (t + 3)\hat{j}$

第（3）题：加速度矢量

  1. 求$x$分量的加速度
    $a_x = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(3) = 0$。
  2. 求$y$分量的加速度
    $a_y = \dfrac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(t + 3) = 1$。
  3. 合成加速度矢量
    $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} = \hat{j}$