已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， (1)求从乙箱中任取一件产品为次品的概率； (2)已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率．

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的计算。

解题思路：

1. 第一问：需要考虑从甲箱取出不同数量次品放入乙箱后，乙箱中次品的概率。通过全概率公式，将所有可能的次品数情况加权求和。
2. 第二问：已知乙箱取出次品，求甲箱放入乙箱的3件中恰有2件次品的概率。利用贝叶斯公式，结合第一问的结果进行计算。

关键点：

• 分类讨论：甲箱取出的次品数可能为0、1、2、3，需分别计算每种情况的概率。
• 条件概率转换：第二问需将问题转化为后验概率，明确分子为联合概率，分母为全概率。

第（1）题

设$A_i$表示“从甲箱取出3件产品中恰有$i$件次品”（$i=0,1,2,3$），$B$表示“从乙箱取出一件为次品”。根据全概率公式：

$P(B) = \sum_{i=0}^{3} P(A_i) \cdot P(B \mid A_i)$

步骤分解：

1. 计算$P(A_i)$：

   • 从甲箱（3正品、3次品）中取3件，组合数为$\binom{6}{3}=20$。
   • $P(A_i) = \frac{\binom{3}{i} \binom{3}{3-i}}{20}$，具体值为：
     • $P(A_0) = \frac{1}{20}$，$P(A_1) = \frac{9}{20}$，$P(A_2) = \frac{9}{20}$，$P(A_3) = \frac{1}{20}$。

2. 计算$P(B \mid A_i)$：

   • 放入乙箱后，乙箱共有6件产品，次品数为$i$，故$P(B \mid A_i) = \frac{i}{6}$。

3. 代入全概率公式：
   $P(B) = \frac{1}{20} \cdot 0 + \frac{9}{20} \cdot \frac{1}{6} + \frac{9}{20} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

第（2）题

利用贝叶斯公式：
$P(A_2 \mid B) = \frac{P(A_2) \cdot P(B \mid A_2)}{P(B)} = \frac{\frac{9}{20} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{5}$