[题目]设函数f(x )在[0,π]上连续,在(0,-|||-π)内可导,求证:存在 { varepsilon in (0,pi ) 使得-|||-'(xi )=-f(xi )cot t

步骤 1：构造辅助函数
构造函数 $g(x)=f(x)\sin x$。这个函数在[0,π]上连续，在(0,π)内可导，因为f(x)在[0,π]上连续，在(0,π)内可导，且sin x在[0,π]上连续，在(0,π)内可导。

步骤 2：计算辅助函数的端点值
计算 $g(0)$ 和 $g(\pi)$ 的值。由于 $\sin 0 = 0$ 和 $\sin \pi = 0$，我们有 $g(0) = f(0)\sin 0 = 0$ 和 $g(\pi) = f(\pi)\sin \pi = 0$。因此，$g(0) = g(\pi) = 0$。

步骤 3：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且在端点处的函数值相等，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得该点的导数为0。因此，存在 $\xi \in (0,\pi)$ 使得 $g'(\xi) = 0$。

步骤 4：计算辅助函数的导数
计算 $g(x)$ 的导数 $g'(x)$。根据乘积法则，$g'(x) = f'(x)\sin x + f(x)\cos x$。因此，$g'(\xi) = f'(\xi)\sin \xi + f(\xi)\cos \xi$。

步骤 5：求解导数为0的条件
由于 $g'(\xi) = 0$，我们有 $f'(\xi)\sin \xi + f(\xi)\cos \xi = 0$。解这个方程，得到 $f'(\xi) = -f(\xi)\cot \xi$。