题目
13、二重极限lim_((x,y)to(1,0))(sqrt(x^2)+y^(2)-x)/(y^2)=____.
13、二重极限$\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{y^{2}}=$____.
题目解答
答案
将分子分母同乘以共轭表达式：
$$
\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y^2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + x}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{y^2}{y^2(\sqrt{x^2 + y^2} + x)} = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}.
$$
当 $(x,y) \to (1,0)$ 时，$\sqrt{x^2 + y^2} \to 1$，故
$$
\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.
$$
**答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
步骤 1：分子分母同乘以共轭表达式
将分子分母同乘以共轭表达式 $\sqrt{x^2 + y^2} + x$，以消除根号，得到：
$$ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y^2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + x}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{y^2}{y^2(\sqrt{x^2 + y^2} + x)} $$
步骤 2：化简表达式
化简得到：
$$ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} $$
步骤 3：计算极限
当 $(x,y) \to (1,0)$ 时，$\sqrt{x^2 + y^2} \to 1$，故：
$$ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$
将分子分母同乘以共轭表达式 $\sqrt{x^2 + y^2} + x$，以消除根号，得到：
$$ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y^2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2} + x}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{y^2}{y^2(\sqrt{x^2 + y^2} + x)} $$
步骤 2：化简表达式
化简得到：
$$ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} $$
步骤 3：计算极限
当 $(x,y) \to (1,0)$ 时，$\sqrt{x^2 + y^2} \to 1$，故：
$$ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$