题目
4.(计算题,7.0分)求曲面sum :x^2-y^2+2z^2=8上与平面pi :x-y+2z-5=0平行的切平面。
4.(计算题,7.0分)
求曲面$\sum :x^{2}-y^{2}+2z^{2}=8$上与平面$\pi :x-y+2z-5=0$平行的切平面。
题目解答
答案
设切点为 $(x_0, y_0, z_0)$，曲面方程为 $F(x, y, z) = x^2 - y^2 + 2z^2 - 8 = 0$。切平面的法向量为 $\nabla F = (2x_0, -2y_0, 4z_0)$，与平面 $\pi: x - y + 2z - 5 = 0$ 的法向量 $(1, -1, 2)$ 平行。
因此，存在常数 $k$ 使得 $(2x_0, -2y_0, 4z_0) = k(1, -1, 2)$，解得 $y_0 = x_0$，$z_0 = x_0$。
代入曲面方程得 $x_0^2 - x_0^2 + 2x_0^2 = 8$，解得 $x_0 = \pm 2$。
对应切点为 $(2, 2, 2)$ 和 $(-2, -2, -2)$，切平面方程分别为：
\[
x - y + 2z - 2 = 0 \quad \text{和} \quad x - y + 2z + 2 = 0.
\]
**答案：**
\[
\boxed{x - y + 2z \pm 2 = 0}
\]