题目
yy-|||-0 C x-|||-B-|||-H已知抛物线y=x2+2x+c与x轴负半轴、y轴的负半轴分别交于点A、B，与x轴正半轴交于点C，且满足OA=OB．（1）求抛物线的解析式及顶点H的坐标；（2）过y轴上一动点Q（0，q）作平行于x轴的水平直线交抛物线于E，F两点，若线段EF长为5，求q的值；（3）已知点P（-3，1），Q（2，2t+1），且线段PQ与抛物线y=x2+2x+c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
已知抛物线y=x2+2x+c与x轴负半轴、y轴的负半轴分别交于点A、B，与x轴正半轴交于点C，且满足OA=OB．（1）求抛物线的解析式及顶点H的坐标；
（2）过y轴上一动点Q（0，q）作平行于x轴的水平直线交抛物线于E，F两点，若线段EF长为5，求q的值；
（3）已知点P（-3，1），Q（2，2t+1），且线段PQ与抛物线y=x2+2x+c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
题目解答
答案
解：（1）y=x2+2x+c与x轴负半轴、y轴的负半轴分别交于点A、B，
当x=0时，y=c，
∴c＜0，B（0，c），
∵OA=OB，
∴A（c，0），
∴0=c2+2c+c，解得：c=-3或c=0（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标：H（-1，-4）；
（2）∵EF∥x轴，
∴点E，Q，F三点的纵坐标相同，均为q，
∴点E，F关于对称轴对称，
由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵EF=5，
∴E，F两点的横坐标分别为：$-1+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}，-1-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$，
当$x=\frac{3}{2}$时，$y={（{\frac{3}{2}}）^2}+2×\frac{3}{2}-3=\frac{9}{4}$，即：$q=\frac{9}{4}$；
（3）由（1）可知：A（-3，0），
∴点P（-3，1）不在抛物线上，
∵Q（2，2t+1），
∴点Q在直线x=2上，
∵y=x2+2x-3，
当x=2时，y=22+2×2-3=5，
∴当2t+1≤5时，即：t≤2时，线段与线段PQ与抛物线y=x2+2x+c有且只有一个公共点．
当x=0时，y=c，
∴c＜0，B（0，c），
∵OA=OB，
∴A（c，0），
∴0=c2+2c+c，解得：c=-3或c=0（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标：H（-1，-4）；
（2）∵EF∥x轴，
∴点E，Q，F三点的纵坐标相同，均为q，
∴点E，F关于对称轴对称，
由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵EF=5，
∴E，F两点的横坐标分别为：$-1+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}，-1-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$，
当$x=\frac{3}{2}$时，$y={（{\frac{3}{2}}）^2}+2×\frac{3}{2}-3=\frac{9}{4}$，即：$q=\frac{9}{4}$；
（3）由（1）可知：A（-3，0），
∴点P（-3，1）不在抛物线上，
∵Q（2，2t+1），
∴点Q在直线x=2上，
∵y=x2+2x-3，
当x=2时，y=22+2×2-3=5，
∴当2t+1≤5时，即：t≤2时，线段与线段PQ与抛物线y=x2+2x+c有且只有一个公共点．
解析
步骤 1：确定抛物线的解析式
抛物线与x轴负半轴、y轴的负半轴分别交于点A、B，与x轴正半轴交于点C，且满足OA=OB。当x=0时，y=c，所以B（0，c），且c<0。因为OA=OB，所以A（c，0）。将A点坐标代入抛物线方程，得到0=c^2+2c+c，解得c=-3或c=0（不合题意，舍去）。因此，抛物线的解析式为y=x^2+2x-3。
步骤 2：求顶点H的坐标
抛物线的解析式为y=x^2+2x-3，将其化为顶点式y=(x+1)^2-4，所以顶点H的坐标为（-1，-4）。
步骤 3：求q的值
过y轴上一动点Q（0，q）作平行于x轴的水平直线交抛物线于E，F两点，若线段EF长为5。因为EF∥x轴，所以点E，Q，F三点的纵坐标相同，均为q。点E，F关于对称轴对称，由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x=-1。因为EF=5，所以E，F两点的横坐标分别为：$-1+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}，-1-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$。当$x=\frac{3}{2}$时，$y={（{\frac{3}{2}}）^2}+2×\frac{3}{2}-3=\frac{9}{4}$，即：$q=\frac{9}{4}$。
步骤 4：求t的取值范围
由（1）可知：A（-3，0），所以点P（-3，1）不在抛物线上。因为Q（2，2t+1），所以点Q在直线x=2上。因为y=x^2+2x-3，当x=2时，y=2^2+2×2-3=5，所以当2t+1≤5时，即：t≤2时，线段与线段PQ与抛物线y=x^2+2x+c有且只有一个公共点。
抛物线与x轴负半轴、y轴的负半轴分别交于点A、B，与x轴正半轴交于点C，且满足OA=OB。当x=0时，y=c，所以B（0，c），且c<0。因为OA=OB，所以A（c，0）。将A点坐标代入抛物线方程，得到0=c^2+2c+c，解得c=-3或c=0（不合题意，舍去）。因此，抛物线的解析式为y=x^2+2x-3。
步骤 2：求顶点H的坐标
抛物线的解析式为y=x^2+2x-3，将其化为顶点式y=(x+1)^2-4，所以顶点H的坐标为（-1，-4）。
步骤 3：求q的值
过y轴上一动点Q（0，q）作平行于x轴的水平直线交抛物线于E，F两点，若线段EF长为5。因为EF∥x轴，所以点E，Q，F三点的纵坐标相同，均为q。点E，F关于对称轴对称，由（1）可知：抛物线的对称轴为直线x=-1。因为EF=5，所以E，F两点的横坐标分别为：$-1+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}，-1-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$。当$x=\frac{3}{2}$时，$y={（{\frac{3}{2}}）^2}+2×\frac{3}{2}-3=\frac{9}{4}$，即：$q=\frac{9}{4}$。
步骤 4：求t的取值范围
由（1）可知：A（-3，0），所以点P（-3，1）不在抛物线上。因为Q（2，2t+1），所以点Q在直线x=2上。因为y=x^2+2x-3，当x=2时，y=2^2+2×2-3=5，所以当2t+1≤5时，即：t≤2时，线段与线段PQ与抛物线y=x^2+2x+c有且只有一个公共点。