已知函数 y = y(x) 满足方程 xydx = sqrt(2 - x^2) dy ，且当 x = 1 时 y = 1 ，则当 x = -1 ， y = ( ).A. 1B. eC. e^-1D. -1

考查要点：本题主要考查可分离变量的微分方程的解法，以及利用初始条件确定特解的能力。

解题核心思路：

1. 分离变量：将方程中的变量$x$和$y$分别移到等式两边，转化为两个变量的微分形式。
2. 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。
3. 应用初始条件：代入已知点$(x=1, y=1)$确定积分常数。
4. 代入求值：将$x=-1$代入特解表达式，计算对应的$y$值。

破题关键点：

• 分离变量时符号处理：确保变量分离后方程的正确性。
• 积分技巧：对$\int \frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} dx$使用代换法。
• 绝对值与符号判断：根据初始条件确定解的符号。

分离变量：
原方程 $xydx = \sqrt{2 - x^2} dy$ 可变形为：
$\frac{dy}{y} = \frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} dx$

积分求解：
对两边积分：
$\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} dx$

计算右边积分：
令 $u = 2 - x^2$，则 $du = -2x dx$，即 $x dx = -\frac{du}{2}$，代入得：
$\int \frac{x}{\sqrt{2 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\sqrt{u} + C = -\sqrt{2 - x^2} + C$

整理方程：
积分结果为：
$\ln|y| = -\sqrt{2 - x^2} + C$

应用初始条件：
当 $x=1$ 时 $y=1$，代入得：
$\ln 1 = -\sqrt{2 - 1^2} + C \implies 0 = -1 + C \implies C = 1$

特解表达式：
方程变为：
$\ln|y| = -\sqrt{2 - x^2} + 1 \implies y = e^{-\sqrt{2 - x^2} + 1}$

代入$x=-1$求值：
当 $x=-1$ 时：
$y = e^{-\sqrt{2 - (-1)^2} + 1} = e^{-\sqrt{1} + 1} = e^{0} = 1$