题目
12.已知三元齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3)=0 2(x)_(1)+3(x)_(2)+a(x)_(3)=0 (x)_(1)+2(x)_(2)+3(x)_(3)=0 .________
12.已知三元齐次线性方程组
有非零解，则
________
题目解答
答案
已知三元齐次线性方程组有非零解，求
的值。根据方程组有非零解的条件为系数矩阵行列式等于零。
方程组的系数矩阵为
将第二行减去两倍的第一行，第三行减去第一行
将第三行减去第二行
令
，得
所以当时，三元齐次线性方程组有非零解。
所以本题答案为
解析
步骤 1：确定方程组的系数矩阵
方程组的系数矩阵为
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 3 & a \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
根据方程组有非零解的条件，系数矩阵的行列式必须等于零。计算行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 3 & a \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：化简行列式
将第二行减去两倍的第一行，第三行减去第一行，得到：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & a+2 \\
0 & 1 & 4
\end{vmatrix}
$$
将第三行减去第二行，得到：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & a+2 \\
0 & 0 & 2-a
\end{vmatrix}
$$
步骤 4：计算行列式的值
行列式的值为：
$$
1 \times 1 \times (2-a) = 2-a
$$
步骤 5：求解方程
令行列式的值等于零，得到方程：
$$
2-a = 0
$$
解得：
$$
a = 2
$$
方程组的系数矩阵为
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 3 & a \\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
根据方程组有非零解的条件，系数矩阵的行列式必须等于零。计算行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 3 & a \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：化简行列式
将第二行减去两倍的第一行，第三行减去第一行，得到：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & a+2 \\
0 & 1 & 4
\end{vmatrix}
$$
将第三行减去第二行，得到：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & a+2 \\
0 & 0 & 2-a
\end{vmatrix}
$$
步骤 4：计算行列式的值
行列式的值为：
$$
1 \times 1 \times (2-a) = 2-a
$$
步骤 5：求解方程
令行列式的值等于零，得到方程：
$$
2-a = 0
$$
解得：
$$
a = 2
$$