题目
3当 arrow 0 时, ((1+ax))^dfrac (1{3)}-1 与 dfrac (2)(3)x 是等价无穷小,求a的值
题目解答
答案
：由题意得：$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{{(1+ax)}^{\dfrac{1}{3}}-1}{\dfrac{2}{3}x}=\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{3}ax}{2x}=\dfrac{a}{6}=1$
∴a=6
a=6
∴a=6
a=6
解析
步骤 1：等价无穷小的定义
等价无穷小的定义是：当 $x \rightarrow 0$ 时，如果两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足 $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小。
步骤 2：应用等价无穷小的定义
根据题目条件，当 $x \rightarrow 0$ 时，${(1+ax)}^{\dfrac{1}{3}}-1$ 与 $\dfrac{2}{3}x$ 是等价无穷小，因此有 $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{{(1+ax)}^{\dfrac{1}{3}}-1}{\dfrac{2}{3}x} = 1$。
步骤 3：利用泰勒展开式
为了计算上述极限，我们可以利用泰勒展开式。当 $x \rightarrow 0$ 时，${(1+ax)}^{\dfrac{1}{3}}$ 可以展开为 $1 + \dfrac{1}{3}ax + o(x)$，其中 $o(x)$ 表示比 $x$ 高阶的无穷小量。
步骤 4：计算极限
将泰勒展开式代入极限中，得到 $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 + \dfrac{1}{3}ax + o(x) - 1}{\dfrac{2}{3}x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{3}ax + o(x)}{\dfrac{2}{3}x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{3}ax}{\dfrac{2}{3}x} = \dfrac{a}{2}$。
步骤 5：求解a的值
根据等价无穷小的定义，上述极限应该等于1，即 $\dfrac{a}{2} = 1$，解得 $a = 2$。
等价无穷小的定义是：当 $x \rightarrow 0$ 时，如果两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足 $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$，则称 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小。
步骤 2：应用等价无穷小的定义
根据题目条件，当 $x \rightarrow 0$ 时，${(1+ax)}^{\dfrac{1}{3}}-1$ 与 $\dfrac{2}{3}x$ 是等价无穷小，因此有 $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{{(1+ax)}^{\dfrac{1}{3}}-1}{\dfrac{2}{3}x} = 1$。
步骤 3：利用泰勒展开式
为了计算上述极限，我们可以利用泰勒展开式。当 $x \rightarrow 0$ 时，${(1+ax)}^{\dfrac{1}{3}}$ 可以展开为 $1 + \dfrac{1}{3}ax + o(x)$，其中 $o(x)$ 表示比 $x$ 高阶的无穷小量。
步骤 4：计算极限
将泰勒展开式代入极限中，得到 $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 + \dfrac{1}{3}ax + o(x) - 1}{\dfrac{2}{3}x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{3}ax + o(x)}{\dfrac{2}{3}x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{3}ax}{\dfrac{2}{3}x} = \dfrac{a}{2}$。
步骤 5：求解a的值
根据等价无穷小的定义，上述极限应该等于1，即 $\dfrac{a}{2} = 1$，解得 $a = 2$。