题目
求函数=x+sqrt (1-x)在=x+sqrt (1-x)上的最大值.
求函数
在
上的最大值.
题目解答
答案
由题意可得：
令
,
,
则
，即
，
函数
可化为：
，
由二次函数的性质可知，
的对称轴为
，
并在此时有最大值：
，
综上所述，结论是：
函数在
上的最大值是
.
解析
步骤 1：变量替换
令$\sqrt {1-x}=t$，因为$x\in [ -5,1] $，所以$t\in [ 0,1] $。
步骤 2：函数转换
由$\sqrt {1-x}=t$，得$1-x=t^2$，即$x=1-t^2$。
将$x=1-t^2$代入原函数$y=x+\sqrt {1-x}$，得$y=1-t^2+t$。
步骤 3：求最大值
函数$y=-t^2+t+1$是一个开口向下的二次函数，其对称轴为$t=\dfrac{1}{2}$。
当$t=\dfrac{1}{2}$时，函数$y=-t^2+t+1$取得最大值，最大值为$y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}$。
令$\sqrt {1-x}=t$，因为$x\in [ -5,1] $，所以$t\in [ 0,1] $。
步骤 2：函数转换
由$\sqrt {1-x}=t$，得$1-x=t^2$，即$x=1-t^2$。
将$x=1-t^2$代入原函数$y=x+\sqrt {1-x}$，得$y=1-t^2+t$。
步骤 3：求最大值
函数$y=-t^2+t+1$是一个开口向下的二次函数，其对称轴为$t=\dfrac{1}{2}$。
当$t=\dfrac{1}{2}$时，函数$y=-t^2+t+1$取得最大值，最大值为$y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}$。