题目

已知向量组α1,α2,α3线性无关,又α1,α2,α3α1,α2,α3α1,α2,α3,试证α1,α2,α3也线性无关.证明:把已知的向量等式写成一个矩阵等式,记作α1,α2,α3.其中α1,α2,α3因α1,α2,α3____.知α1,α2,α3可逆,根据第3章矩阵的秩的性质(4),知_.因为α1,α2,α3的列向量组线性无关,根据第4章定理4知α1,α2,α3,从而α1,α2,α3.再由定理4知B的三个列向量____,即α1,α2,α3线性无关.

已知向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关,又 $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3,$ $\beta_2=\alpha_2+\alpha_3+2\alpha_1,$ $\beta_3=\alpha_3+\alpha_1+2\alpha_2$ ,试证 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 也线性无关.

证明:把已知的向量等式写成一个矩阵等式,记作 $B=AK$ .

其中 $K=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 1&1&2 \\ 2&1&1 \end{pmatrix}$

因 $\mid K\mid=$ ________.知 $K$ 可逆,根据第3章矩阵的秩的性质(4),知_________.

因为 $A$ 的列向量组线性无关,根据第4章定理4知 $R(A)=$ ________,从而 $R\left(B\right)=$ ________.

再由定理4知B的三个列向量________,即 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关.

题目解答

答案

记 $\left(\beta_1,\beta_2,\beta_3\right)=\left(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\right)\begin{pmatrix} 1&2&1\\ 1&1&2\\ 2&1&1 \end{pmatrix}$ 为 $B=AK$

因为 $|K|=\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 1&1&2\\ 2&1&1 \end{vmatrix}$ $=1+8+1-2-2-2=2\ne0$

所以 $K$ 可逆，所以 $R\left(K\right)=3$

因为 $A$ 的列向量组线性无关， $R(A)=3$ ，所以 $R\left(B\right)=3$

所以B的三个列向量线性无关，所以 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关