当 x arrow 0^+ 时，与 sqrt(x) 等价的无穷小量是 ( )(A) 1 - e^sqrt(x).(B) ln (1+x)/(1-sqrt(x)).(C) sqrt(1+sqrt(x)) - 1.(D) 1 - cos sqrt(x).

我们要求：当 $ x \to 0^+ $ 时，哪一个选项是与 $ \sqrt{x} $ 等价的无穷小量。

第一步：理解“等价无穷小”的定义

两个函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 在 $ x \to 0^+ $ 时是等价无穷小，意思是：

$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

题目中给出的基准是 $ \sqrt{x} $，所以我们需要对每个选项 $ f(x) $，计算极限：

$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \quad \stackrel{?}{=} 1$

如果等于 1，则该选项与 $ \sqrt{x} $ 等价。

选项 (A): $ 1 - e^{\sqrt{x}} $

我们分析：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

注意：当 $ x \to 0^+ $，$ \sqrt{x} \to 0 $，令 $ t = \sqrt{x} \to 0^+ $，则极限变为：

$\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - e^t}{t}$

我们知道 $ e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \cdots $，所以：

$1 - e^t = -t - \frac{t^2}{2} - \cdots \Rightarrow \frac{1 - e^t}{t} = -1 - \frac{t}{2} - \cdots \to -1$

所以极限是 $ -1 $，不是 1。

虽然绝对值是 1，但等价无穷小要求极限为 1，而且 $ 1 - e^{\sqrt{x}} \to 0^- $，而 $ \sqrt{x} > 0 $，所以符号也不对。

排除 (A)

选项 (B): $ \ln \frac{1+x}{1 - \sqrt{x}} $

我们分析：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ \ln \frac{1+x}{1 - \sqrt{x}} }{ \sqrt{x} }$

先化简对数：
$\ln \frac{1+x}{1 - \sqrt{x}} = \ln(1+x) - \ln(1 - \sqrt{x})$

当 $ x \to 0^+ $，我们可以用泰勒展开：

• $ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots $
• $ \ln(1 - \sqrt{x}) = -\sqrt{x} - \frac{(\sqrt{x})^2}{2} - \frac{(\sqrt{x})^3}{3} - \cdots = -\sqrt{x} - \frac{x}{2} - \frac{x^{3/2}}{3} - \cdots $

所以：
$\ln(1+x) - \ln(1 - \sqrt{x}) = \left( x - \cdots \right) - \left( -\sqrt{x} - \frac{x}{2} - \cdots \right) = \sqrt{x} + x + \frac{x}{2} + \cdots = \sqrt{x} + \frac{3x}{2} + \cdots$

因此：
$\frac{ \ln \frac{1+x}{1 - \sqrt{x}} }{ \sqrt{x} } = \frac{ \sqrt{x} + \frac{3x}{2} + \cdots }{ \sqrt{x} } = 1 + \frac{3}{2} \sqrt{x} + \cdots \to 1 \quad (x \to 0^+)$

所以极限为 1！

说明 (B) 与 $ \sqrt{x} $ 等价。

先保留 (B)，继续验证其他选项。

选项 (C): $ \sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1 $

分析：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ \sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1 }{ \sqrt{x} }$

令 $ t = \sqrt{x} \to 0^+ $，则极限变为：

$\lim_{t \to 0^+} \frac{ \sqrt{1 + t} - 1 }{ t }$

使用泰勒展开：$ \sqrt{1 + t} = 1 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + \cdots $

所以：
$\frac{ \sqrt{1 + t} - 1 }{ t } = \frac{ \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + \cdots }{ t } = \frac{1}{2} - \frac{1}{8}t + \cdots \to \frac{1}{2}$

极限是 $ \frac{1}{2} $，不是 1。

所以 (C) 是与 $ \sqrt{x} $ 同阶但不等价的无穷小。

排除 (C)

选项 (D): $ 1 - \cos \sqrt{x} $

分析：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

令 $ t = \sqrt{x} \to 0^+ $，则：

$\lim_{t \to 0^+} \frac{1 - \cos t}{t}$

我们知道 $ 1 - \cos t \sim \frac{t^2}{2} $，所以：

$\frac{1 - \cos t}{t} \sim \frac{t^2/2}{t} = \frac{t}{2} \to 0$

极限为 0，说明 $ 1 - \cos \sqrt{x} $ 是比 $ \sqrt{x} $ 高阶的无穷小。

排除 (D)

结论：

只有选项 (B) 满足：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} = 1$

所以正确答案是：

$\boxed{\text{(B)}\ \ln \frac{1+x}{1 - \sqrt{x}}}$