若函数f(x)在区间[1,2]上连续，且f(1) =1，f(2) =0，证明：至少存在一点varepsilon in (1,2)，使得varepsilon in (1,2)成立.

本题可通过构造辅助函数，利用零点存在定理来证明。

 1. 构造辅助函数

令F(x)=f(x)-ln x。

 2. 分析辅助函数在区间端点的值

已知函数f(x)在区间[1, 2]上连续，而对数函数y = ln x在区间(0, +∞)上连续，所以F(x)=f(x)-ln x在区间[1, 2]上也连续。

计算F(x)在区间端点的值：

 当x = 1时，F(1)=f(1)-ln 1。

因为f(1)=1，且ln 1 = 0，所以F(1)=1 - 0 = 1。

 当x = 2时，F(2)=f(2)-ln 2。

已知f(2)=0，所以F(2)=0 - ln 2=-ln 2。

由于ln 2>0，所以F(2)<0，而F(1)>0。

 3. 利用零点存在定理证明

零点存在定理：如果函数y = F(x)在闭区间[a, b]上连续，且F(a)与F(b)异号，那么在开区间(a, b)内至少有一点，使得。

在本题中，F(x)在区间[1, 2]上连续，且F(1)>0，F(2)<0，满足零点存在定理的条件。

所以至少存在一点，使得，即，也就是成立。

综上，得证。