题目
10 [判断] (本题1.0分)(点击图片放大)10. |2A|=2|A|。bigcirc正确bigcirc错误
10 [判断] (本题1.0分)(点击图片放大)
10. |2A|=2|A|。
$\bigcirc$正确
$\bigcirc$错误
题目解答
答案
根据矩阵行列式的性质，对于 $ n \times n $ 的方阵 $ A $ 和标量 $ k $，有 $ |kA| = k^n |A| $。当 $ k = 2 $ 时，$ |2A| = 2^n |A| $。
题目中给出的等式 $ |2A| = 2|A| $ 成立仅当 $ n = 1 $，对于 $ n \geq 2 $ 的方阵不成立。
因此，答案为：$\boxed{\text{错误}}$。
解析
步骤 1：理解矩阵行列式的性质
矩阵行列式的性质之一是，对于 $ n \times n $ 的方阵 $ A $ 和标量 $ k $，有 $ |kA| = k^n |A| $。这意味着，当矩阵 $ A $ 的每个元素都乘以标量 $ k $ 时，行列式的值会乘以 $ k^n $，其中 $ n $ 是矩阵的阶数。
步骤 2：应用性质到题目中的等式
题目中给出的等式是 $ |2A| = 2|A| $。根据矩阵行列式的性质，$ |2A| = 2^n |A| $。因此，题目中的等式可以写为 $ 2^n |A| = 2|A| $。
步骤 3：分析等式成立的条件
要使等式 $ 2^n |A| = 2|A| $ 成立，必须有 $ 2^n = 2 $。这意味着 $ n = 1 $。因此，等式 $ |2A| = 2|A| $ 成立仅当 $ n = 1 $，即矩阵 $ A $ 是 $ 1 \times 1 $ 的方阵。对于 $ n \geq 2 $ 的方阵，等式不成立。
矩阵行列式的性质之一是，对于 $ n \times n $ 的方阵 $ A $ 和标量 $ k $，有 $ |kA| = k^n |A| $。这意味着，当矩阵 $ A $ 的每个元素都乘以标量 $ k $ 时，行列式的值会乘以 $ k^n $，其中 $ n $ 是矩阵的阶数。
步骤 2：应用性质到题目中的等式
题目中给出的等式是 $ |2A| = 2|A| $。根据矩阵行列式的性质，$ |2A| = 2^n |A| $。因此，题目中的等式可以写为 $ 2^n |A| = 2|A| $。
步骤 3：分析等式成立的条件
要使等式 $ 2^n |A| = 2|A| $ 成立，必须有 $ 2^n = 2 $。这意味着 $ n = 1 $。因此，等式 $ |2A| = 2|A| $ 成立仅当 $ n = 1 $，即矩阵 $ A $ 是 $ 1 \times 1 $ 的方阵。对于 $ n \geq 2 $ 的方阵，等式不成立。