2、已知A为n阶方阵,且 A^2+3A-2E=0, 则 (A-2E)^-1=

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解及逆矩阵的求法，需要结合矩阵运算的性质进行变形和构造。

解题核心思路：

1. 利用已知方程降阶：将高次项（如$A^2$）用低次项表示，简化表达式。
2. 构造逆矩阵表达式：假设逆矩阵为$A$和单位矩阵$E$的线性组合，通过矩阵乘法展开并对比系数，解出待定系数。

破题关键点：

• 代数变形：将原方程变形为$A^2 = 2E - 3A$，用于后续替换。
• 待定系数法：通过假设逆矩阵形式，建立方程组求解系数。

步骤1：整理已知方程
由$A^2 + 3A - 2E = 0$，得：
$A^2 = 2E - 3A.$

步骤2：假设逆矩阵形式
设$(A - 2E)^{-1} = kA + bE$（$k, b$为待定系数），则：
$(A - 2E)(kA + bE) = E.$

步骤3：展开矩阵乘法
展开右边：
$\begin{aligned}(A - 2E)(kA + bE) &= kA^2 + bA - 2kA - 2bE \\&= kA^2 + (b - 2k)A - 2bE.\end{aligned}$

步骤4：代入$A^2$的表达式
将$A^2 = 2E - 3A$代入：
$\begin{aligned}k(2E - 3A) + (b - 2k)A - 2bE &= 2kE - 3kA + (b - 2k)A - 2bE \\&= (2k - 2b)E + (-3k + b - 2k)A \\&= (2k - 2b)E + (b - 5k)A.\end{aligned}$

步骤5：对比系数求解
等式需等于$E$，即：
$\begin{cases}2k - 2b = 1 \quad \text{（$E$的系数）}, \\b - 5k = 0 \quad \text{（$A$的系数）}.\end{cases}$

解得：
$k = -\frac{1}{8}, \quad b = -\frac{5}{8}.$

步骤6：写出逆矩阵
代入$k$和$b$，得：
$(A - 2E)^{-1} = -\frac{1}{8}A - \frac{5}{8}E = -\frac{1}{8}(A + 5E).$