设函数f(x)在 x=1 处可导,且 lim _(xarrow 1)dfrac (f(x))({x)^2-1}=2, 则 () .(单选题-|||-(1分-|||-A f(1)=1 , '(1)=2-|||-B f(1)=1 , '(1)=4-|||-C f(1)=0 , '(1)=2-|||-D f(1)=0 () , '(1)=4

考查要点：本题主要考查极限的性质、洛必达法则的应用，以及函数在某点可导的条件。

解题核心思路：

1. 判断分子极限：由分母$x^2-1$在$x \to 1$时趋近于0，且分式极限存在有限，可得分子$f(x)$在$x \to 1$时也趋近于0，结合连续性得$f(1)=0$。
2. 应用洛必达法则：将原极限转化为导数形式，求出$f'(1)$的值。

破题关键点：

• 分子必须趋近于0：分母趋近于0且分式极限存在有限，说明分子也趋近于0。
• 可导性隐含连续性：$f(x)$在$x=1$处可导，故连续，从而$f(1)=0$。
• 洛必达法则的正确应用：将分式极限转换为导数的极限，注意分母导数的计算。

步骤1：分析$f(1)$的值

由题意，$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = 2$。
当$x \to 1$时，分母$x^2 - 1 \to 0$，而分式极限存在且为有限数2，因此分子$f(x)$必须趋近于0，否则分式会趋向无穷大。
又因为$f(x)$在$x=1$处可导，故$f(x)$在$x=1$处连续，可得：
$f(1) = \lim_{x \to 1} f(x) = 0.$
因此，排除选项A和B，剩下选项C和D。

步骤2：应用洛必达法则求$f'(1)$

原极限为$\frac{0}{0}$型不定式，满足洛必达法则的条件：
$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{2x}.$
根据题意，该极限值为2，因此：
$\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{2x} = 2 \implies \lim_{x \to 1} f'(x) = 2 \cdot 2 = 4.$
故$f'(1) = 4$，对应选项D。