题目
y' = y 满足 y|_(x=0) = 2 的特解是()。A. y = e^x + 1B. y = 2e^xC. y = 2 - e^(x)/(2)D. y = 3 - e^x
$y' = y$ 满足 $y|_{x=0} = 2$ 的特解是()。
A. $y = e^x + 1$
B. $y = 2e^x$
C. $y = 2 - e^{\frac{x}{2}}$
D. $y = 3 - e^x$
题目解答
答案
B. $y = 2e^x$
解析
步骤 1：求解微分方程 $y' = y$ 的通解
微分方程 $y' = y$ 可以改写为： \[ \frac{dy}{dx} = y \] 将变量分离，得到： \[ \frac{dy}{y} = dx \] 两边同时积分，得到： \[ \int \frac{dy}{y} = \int dx \] 左边的积分是 $\ln|y|$，右边的积分是 $x + C$，其中 $C$ 是任意常数。因此，我们有： \[ \ln|y| = x + C \] 为了消去自然对数，我们将两边同时取以 $e$ 为底的指数，得到： \[ |y| = e^{x + C} = e^C e^x \] 由于 $e^C$ 是一个正的常数，我们可以将它记为 $C_1$，其中 $C_1$ 也是任意常数。因此，我们有： \[ y = C_1 e^x \] 这就是微分方程 $y' = y$ 的通解。
步骤 2：利用初始条件 $y|_{x=0} = 2$ 求特解
将 $x = 0$ 和 $y = 2$ 代入通解 $y = C_1 e^x$，得到： \[ 2 = C_1 e^0 = C_1 \cdot 1 = C_1 \] 所以，$C_1 = 2$。将 $C_1$ 的值代回通解，得到： \[ y = 2 e^x \] 这就是微分方程 $y' = y$ 满足初始条件 $y|_{x=0} = 2$ 的特解。
微分方程 $y' = y$ 可以改写为： \[ \frac{dy}{dx} = y \] 将变量分离，得到： \[ \frac{dy}{y} = dx \] 两边同时积分，得到： \[ \int \frac{dy}{y} = \int dx \] 左边的积分是 $\ln|y|$，右边的积分是 $x + C$，其中 $C$ 是任意常数。因此，我们有： \[ \ln|y| = x + C \] 为了消去自然对数，我们将两边同时取以 $e$ 为底的指数，得到： \[ |y| = e^{x + C} = e^C e^x \] 由于 $e^C$ 是一个正的常数，我们可以将它记为 $C_1$，其中 $C_1$ 也是任意常数。因此，我们有： \[ y = C_1 e^x \] 这就是微分方程 $y' = y$ 的通解。
步骤 2：利用初始条件 $y|_{x=0} = 2$ 求特解
将 $x = 0$ 和 $y = 2$ 代入通解 $y = C_1 e^x$，得到： \[ 2 = C_1 e^0 = C_1 \cdot 1 = C_1 \] 所以，$C_1 = 2$。将 $C_1$ 的值代回通解，得到： \[ y = 2 e^x \] 这就是微分方程 $y' = y$ 满足初始条件 $y|_{x=0} = 2$ 的特解。