试证明一个绕原点的旋转变换和一个均匀比例变换是可交换的变换对。

步骤 1：定义旋转变换矩阵
旋转变换矩阵${T}_{1}$表示绕原点旋转$\theta$角的变换，其矩阵形式为：
${T}_{1}=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步骤 2：定义均匀比例变换矩阵
均匀比例变换矩阵${T}_{2}$表示在所有方向上均匀缩放s倍的变换，其矩阵形式为：
${T}_{2}=\begin{bmatrix} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步骤 3：计算${T}_{1}{T}_{2}$
将${T}_{1}$和${T}_{2}$相乘，得到：
${T}_{1}{T}_{2}=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s\cos \theta & -s\sin \theta & 0 \\ s\sin \theta & s\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步骤 4：计算${T}_{2}{T}_{1}$
将${T}_{2}$和${T}_{1}$相乘，得到：
${T}_{2}{T}_{1}=\begin{bmatrix} s & 0 & 0 \\ 0 & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s\cos \theta & -s\sin \theta & 0 \\ s\sin \theta & s\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

步骤 5：比较${T}_{1}{T}_{2}$和${T}_{2}{T}_{1}$
比较步骤3和步骤4的结果，可以发现${T}_{1}{T}_{2}={T}_{2}{T}_{1}$，即旋转变换和均匀比例变换是可交换的变换对。