题目

习题3.11.将一枚硬币抛3次，以随机变量X表示在3次中出现正面的次数，以随机变量Y表示在3次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值.试写出(X,Y)的分布律.

习题3.1 1.将一枚硬币抛3次，以随机变量X表示在3次中出现正面的次数，以随机变量Y表示在3次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值.试写出(X,Y)的分布律.

题目解答

答案

将一枚硬币抛3次，设 $X$ 表示正面次数，$Y$ 表示正面与反面次数之差的绝对值。

  • $X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3$，
  • $Y = |2X - 3|$，可能取值为 $1$（当 $X = 1$ 或 $X = 2$）和 $3$（当 $X = 0$ 或 $X = 3$）。

计算每种组合的概率：

  • $X = 0$ 时，$Y = 3$，概率为 $\frac{1}{8}$；
  • $X = 1$ 时，$Y = 1$，概率为 $\frac{3}{8}$；
  • $X = 2$ 时，$Y = 1$，概率为 $\frac{3}{8}$；
  • $X = 3$ 时，$Y = 3$，概率为 $\frac{1}{8}$。

分布律：
$\boxed{\begin{array}{c|cc}X \backslash Y & 1 & 3 \\\hline0 & 0 & \frac{1}{8} \\1 & \frac{3}{8} & 0 \\2 & \frac{3}{8} & 0 \\3 & 0 & \frac{1}{8} \\\end{array}}$

解析

考查要点：本题主要考查联合分布律的求解，需要结合随机变量的定义及组合概率进行分析。

解题核心思路：

  1. 确定随机变量的可能取值：首先明确$X$（正面次数）和$Y$（正面与反面次数之差的绝对值）的可能取值。
  2. 建立变量关系：通过公式$Y = |2X - 3|$，将$Y$的取值与$X$的取值对应。
  3. 计算联合概率：根据二项分布计算$X$的取值对应的概率，再结合$Y$的取值关系填写联合分布表。

破题关键点：

  • 理解$Y$的定义：$Y = |X - (3 - X)| = |2X - 3|$，简化后直接关联$X$的取值。
  • 枚举所有可能情况：通过列举三次抛硬币的所有结果，验证概率计算的正确性。

步骤1：确定$X$和$Y$的可能取值

  • $X$的可能取值：抛三次硬币，正面次数为$0, 1, 2, 3$。
  • $Y$的计算公式：$Y = |2X - 3|$，对应取值为：
    • $X = 0$或$3$时，$Y = 3$；
    • $X = 1$或$2$时，$Y = 1$。

步骤2：计算各$(X, Y)$组合的概率

  • $X = 0$（三次反面）：概率为$\frac{1}{8}$，对应$(0, 3)$。
  • $X = 1$（一次正面）：有$3$种组合（如正反反），概率为$\frac{3}{8}$，对应$(1, 1)$。
  • $X = 2$（两次正面）：有$3$种组合（如正正反），概率为$\frac{3}{8}$，对应$(2, 1)$。
  • $X = 3$（三次正面）：概率为$\frac{1}{8}$，对应$(3, 3)$。

步骤3：构建联合分布律表

将上述结果整理为表格形式，行表示$X$，列表示$Y$，单元格填概率。