2.如图,在棱长为1的正方体 -(A)_(1)(B)_(1)(C)_(1)(D)_(1) 中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.-|||-(1)求点A1到直线B1E的距离;-|||-(2)求直线FC1到直线AE的距离;-|||-(3)求点A1到平面AB1E的距离;-|||-(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.2.如图,在棱长为1的正方体 -(A)_(1)(B)_(1)(C)_(1)(D)_(1) 中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.-|||-(1)求点A1到直线B1E的距离;-|||-(2)求直线FC1到直线AE的距离;-|||-(3)求点A1到平面AB1E的距离;-|||-(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
题目解答
答案
【答案】
$\left(1\right)$$d=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
$\left(2\right)$$d=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\left(3\right)$$d=\dfrac{2}{3}$
$\left(4\right)$$d=\dfrac{1}{3}$
【解析】
$\left(1\right)$连接${A}_{1}E$,
在$\triangle {A}_{1}{B}_{1}E$中,${A}_{1}E=\sqrt{{1}^{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$E{B}_{1}=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{2}}=\dfrac{3}{2}$,${A}_{1}{B}_{1}=1$
$\because {A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}=E{{B}_{1}}^{2}$,$\therefore \angle E{A}_{1}{B}_{1}={90}^{\circ }$.
设${A}_{1}$到${B}_{1}E$的距离为$d$.$\therefore {S}_{\triangle {A}_{1}{B}_{1}E}=\dfrac{1}{2}\cdot {A}_{1}E\cdot {A}_{1}{B}_{1}=\dfrac{1}{2}\cdot E{B}_{1}\cdot d$
$\therefore \dfrac{\sqrt{5}}{2}\times 1=\dfrac{3}{2}d$,解得$d=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
$\left(2\right)$$\because F{C}_{1}\ykparallel AE$,$\therefore F{C}_{1}$到$AE$的距离为$AF$.
$AF=\sqrt{{1}^{2}+{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$,$\therefore F{C}_{1}$到$AE$的距离为$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\left(3\right)$以$DA$为$x$轴,$DC$为$y$轴,$D{D}_{1}$为$z$轴建立空间直角坐标系.
$\therefore {A}_{1}\left(1,0,1\right)$,$A\left(1,0,0\right)$,${B}_{1}\left(1,1,1\right)$,$E\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$,${C}_{1}\left(0,1,1\right)$
$\overrightarrow{A{B}_{1}}=\left(0,1,1\right)$,$\overrightarrow{AE}=\left(-1,0,\dfrac{1}{2}\right)$,$\overrightarrow{A{A}_{1}}=\left(0,0,1\right)$$\overrightarrow{{C}_{1}A}=\left(1,-1,-1\right)$
设$\overrightarrow{m}=\left(x,y,z\right)$为平面$\overrightarrow{A{B}_{1}E}$的一个法向量.
$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ -x+\dfrac{1}{2}z=0\end{array}\right.$,解得$\overrightarrow{m}=\left(1,-2,2\right)$
$\therefore {A}_{1}$到平面$A{B}_{1}E$的距离$d=\dfrac{\overrightarrow{A{A}_{1}}\cdot \overrightarrow{m}}{\overrightarrow{\left|m\right|}}=\dfrac{1\times 2}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{2}{3}$
$\left(4\right)$$\because F{C}_{1}\ykparallel AE$,$\therefore F{C}_{1}\ykparallel $平面$A{B}_{1}E$.
$\therefore F{C}_{1}$到平面$A{B}_{1}E$的距离即为$A{C}_{1}$到平面$A{B}_{1}E$的距离.
$\therefore d=\dfrac{\overrightarrow{{C}_{1}A}\cdot \overrightarrow{m}}{\overrightarrow{m}}=\dfrac{1\times 1+\left(-2\right)\times \left(-1\right)+2\times \left(-1\right)}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{1}{3}$
解析
考查要点：本题主要考查立体几何中点到直线、直线到直线、点到平面、直线到平面的距离计算，涉及空间想象能力、向量运算及几何性质的应用。
解题思路：
- 第（1）题：利用三角形面积法，通过不同底和高表达面积求解点到直线的距离。
- 第（2）题：通过平行直线间的最短距离转化为线段长度。
- 第（3）题：建立空间直角坐标系，利用法向量法计算点到平面的距离。
- 第（4）题：利用平行直线到平面的距离转化为点到平面的距离。
破题关键：
- 几何关系分析（如平行性、垂直性）。
- 向量运算（法向量求解、点积应用）。
- 公式选择（面积法、点到平面距离公式）。
第（1）题
分析三角形性质
在$\triangle A_1B_1E$中，计算各边长：
- $A_1E = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
- $EB_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{3}{2}$
- $A_1B_1 = 1$
验证直角三角形
由勾股定理：$A_1B_1^2 + A_1E^2 = B_1E^2$，故$\angle A_1B_1E = 90^\circ$。
面积法求距离
设$A_1$到$B_1E$的距离为$d$，则：
$\frac{1}{2} \cdot A_1E \cdot A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot B_1E \cdot d$
代入数据解得：
$d = \frac{\sqrt{5}}{3}$
第（2）题
判断平行性
$\overrightarrow{FC_1} = (-1, 0, \frac{1}{2})$，$\overrightarrow{AE} = (-1, 0, \frac{1}{2})$，故$FC_1 \parallel AE$。
计算最短距离
两平行直线间的距离为连接它们的线段$AF$的长度：
$AF = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
第（3）题
建立坐标系
设$D$为原点，坐标为：
- $A_1(1,0,1)$，$A(1,0,0)$，$B_1(1,1,1)$，$E(0,0,\frac{1}{2})$
求平面法向量
平面$AB_1E$的法向量$\overrightarrow{m}$满足：
$\begin{cases}y + z = 0 \\-x + \frac{1}{2}z = 0\end{cases}$
解得$\overrightarrow{m} = (1, -2, 2)$。
点到平面距离公式
$d = \frac{|\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|} = \frac{2}{3}$
第（4）题
判断平行性
$FC_1 \parallel AE$，故$FC_1 \parallel$平面$AB_1E$。
转化为点到平面距离
取$C_1$到平面$AB_1E$的距离：
$d = \frac{|\overrightarrow{C_1A} \cdot \overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|} = \frac{1}{3}$