2.验证函数 (x)=ln x 在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理的条件,并求出拉格-|||-朗日中值定理结论中的ξ值.

步骤 1：验证函数 $f(x)=\ln x$ 在区间[1,e]上连续
函数 $f(x)=\ln x$ 在区间[1,e]上是连续的，因为自然对数函数在其定义域内是连续的，而[1,e]是自然对数函数的定义域的一部分。

步骤 2：验证函数 $f(x)=\ln x$ 在区间(1,e)上可导
函数 $f(x)=\ln x$ 在区间(1,e)上是可导的，因为自然对数函数在其定义域内是可导的，而(1,e)是自然对数函数的定义域的一部分。

步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，如果函数 $f(x)$ 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在至少一个点 $\xi \in (a,b)$，使得
$$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
对于函数 $f(x)=\ln x$，在区间[1,e]上，我们有
$$f'(x) = \frac{1}{x}$$
因此，存在 $\xi \in (1,e)$，使得
$$f'(\xi) = \frac{1}{\xi} = \frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$$
解得
$$\xi = e - 1$$