3. 求极限 lim_(x to infty )((3x^2-1)/(3x^2)+1)^2x^(2-2).
题目解答
答案
设 $y = \left(\frac{3x^2 - 1}{3x^2 + 1}\right)^{2x^2 - 2}$，取对数得
$\ln y = (2x^2 - 2) \ln \left(\frac{3x^2 - 1}{3x^2 + 1}\right).$
化简对数内表达式：
$\frac{3x^2 - 1}{3x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{3x^2 + 1}.$
利用 $\ln(1 + u) \approx u$（当 $u \to 0$）得
$\ln \left(1 - \frac{2}{3x^2 + 1}\right) \approx -\frac{2}{3x^2 + 1}.$
代入得
$\ln y \approx (2x^2 - 2) \left(-\frac{2}{3x^2 + 1}\right) = -\frac{4x^2 - 4}{3x^2 + 1} \to -\frac{4}{3} \quad (x \to \infty).$
因此，$\lim_{x \to \infty} \ln y = -\frac{4}{3}$，故
$\lim_{x \to \infty} y = e^{-\frac{4}{3}}.$
答案： $\boxed{e^{-\frac{4}{3}}}$
解析
本题主要考察了极限计算中“$1^\infty$型”极限的求解方法，核心思路是通过取对数将指数形式转化为乘积形式，再利用等价无穷小替换简化计算。
步骤1：识别极限类型
当$x \to \infty$时，$\frac{3x^2 - 1}{3x^2 + 1} \to 1$，指数$2x^2 - 2 \to \infty$，属于“$1^\infty$型”极限，需用对数转化。
步骤2：取对数转化
设$y = \left(\frac{3x^2 - 1}{3x^2 + 1}\right)^{2x^2 - 2}$，对两边取自然对数：
$\ln y = (2x^2 - 2) \ln\left(\frac{3x^2 - 1}{3x^2 + 1}\right)$
步骤3：化简对数内表达式
将分式变形：
$\frac{3x^2 - 1}{3x^2 + 1} = 1 - \frac{2}{3x^2 + 1}$
当$x \to \infty$时，$\frac{2}{3x^2 + 1} \to 0$，利用等价无穷小$\ln(1 + u) \sim u$（$u \to 0$）：
$\ln\left(1 - \frac{2}{3x^2 + 1}\right) \sim -\frac{2}{3x^2 + 1}$
步骤4：计算$\ln y$的极限
代入等价无穷小：
$\ln y \sim (2x^2 - 2)\left(-\frac{2}{3x^2 + 1}\right) = -\frac{4x^2 - 4}{3x^2 + 1}$
当$x \to \infty$时，分子分母同除以$x^2$：
$\lim_{x \to \infty} \ln y = -\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{1}{x^2}} = -\frac{4}{3}$
步骤5：还原$y$的极限
由$\lim_{x \to \infty} \ln y = -\frac{4}{3}$，得：
$\lim_{x \to \infty} y = e^{-\frac{4}{3}}$