题目
函数f(x)= ) 2sin (x-1),xlt 1 0,x=1,xgt 1 .，在x=1处( )A.极限不存在B.极限存在但不连续C. 连续但不可导D.可导
函数
，在x=1
处( )
A.极限不存在
B.极限存在但不连续
C. 连续但不可导
D.可导
题目解答
答案
解：
f(1)=0，故函数极限存在，故A错误
f(x)在x=1附近有定义，故函数连续，故B错误
x<1时
x>1时
左右导数都存在且相等，故可导
故C错误，D正确
故答案为D
解析
步骤 1：计算左极限
$f({1}^{-})=\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}2\sin (x-1)=2\sin (1-1)=2\sin 0=0$
步骤 2：计算右极限
$f({1}^{+})=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}({x}^{2}-1)=(1^{2}-1)=0$
步骤 3：计算函数值
f(1)=0
步骤 4：判断极限存在性
由于$f({1}^{-})=f({1}^{+})=f(1)=0$，所以函数在x=1处的极限存在。
步骤 5：判断连续性
由于函数在x=1处的极限存在且等于函数值，所以函数在x=1处连续。
步骤 6：计算左导数
x<1时，$f'(x)=2\cos (x-1)$，$f'(1)=\lim _{x\rightarrow 1}2\cos (x-1)=2\cos (1-1)=2\cos 0=2$
步骤 7：计算右导数
x>1时，$f'(x)=2x$，$f'(1)=\lim _{x\rightarrow 1}2x=2$
步骤 8：判断可导性
由于左右导数都存在且相等，所以函数在x=1处可导。
$f({1}^{-})=\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}2\sin (x-1)=2\sin (1-1)=2\sin 0=0$
步骤 2：计算右极限
$f({1}^{+})=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}({x}^{2}-1)=(1^{2}-1)=0$
步骤 3：计算函数值
f(1)=0
步骤 4：判断极限存在性
由于$f({1}^{-})=f({1}^{+})=f(1)=0$，所以函数在x=1处的极限存在。
步骤 5：判断连续性
由于函数在x=1处的极限存在且等于函数值，所以函数在x=1处连续。
步骤 6：计算左导数
x<1时，$f'(x)=2\cos (x-1)$，$f'(1)=\lim _{x\rightarrow 1}2\cos (x-1)=2\cos (1-1)=2\cos 0=2$
步骤 7：计算右导数
x>1时，$f'(x)=2x$，$f'(1)=\lim _{x\rightarrow 1}2x=2$
步骤 8：判断可导性
由于左右导数都存在且相等，所以函数在x=1处可导。