3.载流的圆形线圈(半径a)与正方形线圈(边长为b)通有相同电流I.若两个线圈的中心O1、O22处的磁-|||-感强度大小相同,则半径a与边长b之比为 ()-|||-A.1:1 B. sqrt (2)pi :2 C. sqrt (2)pi :4 D. sqrt (2)pi :8

本题考查圆形线圈和正方形线圈中心磁感应强度的计算。解题关键在于：

1. 圆形线圈中心的磁感强度公式：$B_{\text{圆}} = \frac{\mu_0 I}{2a}$；
2. 正方形线圈中心的磁感强度公式：需考虑每个边的磁场方向与合成，最终总和为$B_{\text{方}} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi b}$；
3. 建立等式：根据题意，两处磁感强度相等，联立方程求解$a$与$b$的比值。

公式推导

1. 圆形线圈：中心处磁感强度为
   $B_{\text{圆}} = \frac{\mu_0 I}{2a}.$

2. 正方形线圈：

   • 每个边在中心产生的磁场方向与正方形对角线方向成$45^\circ$，分量为
     $B_{\text{单边}} = \frac{\mu_0 I}{\pi b} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$
   • 四个边的总和为
     $B_{\text{方}} = 4 \cdot \frac{\mu_0 I}{\pi b} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi b}.$

联立方程

根据题意，$B_{\text{圆}} = B_{\text{方}}$，即
$\frac{\mu_0 I}{2a} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{\pi b}.$
约去$\mu_0 I$后整理得：
$\frac{1}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{\pi b} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{4}.$
因此，$a : b = \sqrt{2}\pi : 8$。