1.当xto0^+时，与sqrt(x)等价的无穷小量是A. 1 - e^sqrt(x)B. ln(1+x)/(1-sqrt(x))C. sqrt(1+sqrt(x))-1D. 1 - cos sqrt(x)

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判定，需要掌握常见函数在$x \to 0$时的泰勒展开式，并能通过展开式比较不同无穷小量的阶。

解题核心思路：

1. 展开各选项的表达式，保留到与$\sqrt{x}$同阶的项；
2. 比较展开后的主部，若某选项的主部与$\sqrt{x}$的系数为1，则为正确答案。

破题关键点：

• 泰勒展开是核心工具，需熟练展开$\ln(1+t)$、$e^t$、$\sqrt{1+t}$等函数；
• 注意阶的比较，$\sqrt{x}$的阶为$x^{1/2}$，比$x$更高阶。

选项B：$\ln\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$

拆分表达式

$\ln\frac{1+x}{1-\sqrt{x}} = \ln(1+x) - \ln(1-\sqrt{x})$

展开$\ln(1+x)$

当$x \to 0$时，$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots$，保留到$x$项：
$\ln(1+x) \approx x$

展开$\ln(1-\sqrt{x})$

令$t = \sqrt{x}$，则$\ln(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \cdots$，代入$t = \sqrt{x}$：
$\ln(1-\sqrt{x}) \approx -\sqrt{x} - \frac{x}{2}$

合并两部分

$\ln\frac{1+x}{1-\sqrt{x}} \approx \left( x \right) - \left( -\sqrt{x} - \frac{x}{2} \right) = \sqrt{x} + \frac{3x}{2}$

主部分析

当$x \to 0$时，$\sqrt{x}$是主部，且系数为1，因此：
$\ln\frac{1+x}{1-\sqrt{x}} \sim \sqrt{x}$

其他选项分析

选项A：$1 - e^{\sqrt{x}}$

展开$e^{\sqrt{x}} = 1 + \sqrt{x} + \frac{x}{2} + \cdots$，得：
$1 - e^{\sqrt{x}} \approx -\sqrt{x} - \frac{x}{2}$
主部为$-\sqrt{x}$，系数为$-1$，与$\sqrt{x}$不等价。

选项C：$\sqrt{1+\sqrt{x}} - 1$

展开$\sqrt{1+\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{8}x + \cdots$，得：
$\sqrt{1+\sqrt{x}} - 1 \approx \frac{1}{2}\sqrt{x}$
主部系数为$\frac{1}{2}$，与$\sqrt{x}$不等价。

选项D：$1 - \cos\sqrt{x}$

展开$\cos\sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + \cdots$，得：
$1 - \cos\sqrt{x} \approx \frac{x}{2}$
主部为$x$，与$\sqrt{x}$不同阶。