题目
求函数y=x3-3x2-9x+1的极值.正确答案:由于y=x3-3x2-9x+1的定义域为(-∞,+∞),y’=3x2-6x-9,令y’=0,得驻点x1=-1,x2=3,y”=6x-6,y”(-1)<0,y”(3)>0,故f(-1)=6为极大值,f(3)=-26为极小值。
求函数y=x3-3x2-9x+1的极值.
正确答案:由于y=x3-3x2-9x+1的定义域为(-∞,+∞),y’=3x2-6x-9,令y’=0,得驻点x1=-1,x2=3,y”=6x-6,y”(-1)<0,y”(3)>0,故f(-1)=6为极大值,f(3)=-26为极小值。
题目解答
答案
解析:利用导数判定函数y=f(x)极值的步骤:(1)求出y=f(x)的定义域。(2)求出y’=f’(x)。在函数的定义域内,求出导数不存在的点及函数的驻点。(3)判定上述点两侧导数的符号,利用极值的第一充分条件判定其是否为函数的极值点。(4)如果驻点处函数的二阶导数易求,可利用极值的第二充分条件判定其是否为函数的极值点。(5)将极值点横坐标代入函数表达式求出相应函数值。
解析
步骤 1：求导数
首先，求出函数 \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\) 的一阶导数 \(y'\)。
\[y' = 3x^2 - 6x - 9\]
步骤 2：求驻点
令 \(y' = 0\)，解方程 \(3x^2 - 6x - 9 = 0\)，求出驻点。
\[3x^2 - 6x - 9 = 0\]
\[x^2 - 2x - 3 = 0\]
\[(x - 3)(x + 1) = 0\]
得到驻点 \(x_1 = -1\) 和 \(x_2 = 3\)。
步骤 3：求二阶导数
求出函数的二阶导数 \(y''\)。
\[y'' = 6x - 6\]
步骤 4：判定极值
将驻点代入二阶导数中，判断极值。
\[y''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0\]
\[y''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0\]
因此，\(x = -1\) 处为极大值点，\(x = 3\) 处为极小值点。
步骤 5：计算极值
将驻点代入原函数中，计算极值。
\[f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6\]
\[f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26\]
首先，求出函数 \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1\) 的一阶导数 \(y'\)。
\[y' = 3x^2 - 6x - 9\]
步骤 2：求驻点
令 \(y' = 0\)，解方程 \(3x^2 - 6x - 9 = 0\)，求出驻点。
\[3x^2 - 6x - 9 = 0\]
\[x^2 - 2x - 3 = 0\]
\[(x - 3)(x + 1) = 0\]
得到驻点 \(x_1 = -1\) 和 \(x_2 = 3\)。
步骤 3：求二阶导数
求出函数的二阶导数 \(y''\)。
\[y'' = 6x - 6\]
步骤 4：判定极值
将驻点代入二阶导数中，判断极值。
\[y''(-1) = 6(-1) - 6 = -12 < 0\]
\[y''(3) = 6(3) - 6 = 12 > 0\]
因此，\(x = -1\) 处为极大值点，\(x = 3\) 处为极小值点。
步骤 5：计算极值
将驻点代入原函数中，计算极值。
\[f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6\]
\[f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26\]