题目
方程(x)^3=1-x至少存在一个实根的开区间是(,,,,,,)A、(-1,0)B、(0,1)C、(1,2)D、(2,3)
方程${x}^{3}=1-x$至少存在一个实根的开区间是$\left(\,\,\,\,\,\,\right)$
$A、\left(-1,0\right)$
$B、\left(0,1\right)$
$C、\left(1,2\right)$
$D、\left(2,3\right)$
题目解答
答案
【答案】
$B$
【解析】
因为方程${x}^{3}=1-x$的实根为函数$f\left(x\right)={x}^{3}+x-1$的零点，
因为${f}'\left(x\right)=3{x}^{2}+1\gt 0$,所以函数$f\left(x\right)$在$R$上是增函数，
又因为$f\left(0\right)=-1\lt 0$,$f\left(1\right)=1+1-1=1\gt 0$,
所以函数$f\left(x\right)={x}^{3}+x-1$在$\left(0,1\right)$上有唯一零点，
即原方程${x}^{3}=1-x$在区间$\left(0,1\right)$上有一个实根，
故选：$B$.
解析
步骤 1：将方程转换为函数形式
将方程${x}^{3}=1-x$转换为函数形式$f\left(x\right)={x}^{3}+x-1$，这样我们可以通过分析函数$f\left(x\right)$的性质来确定方程的实根。
步骤 2：分析函数$f\left(x\right)$的单调性
计算函数$f\left(x\right)$的导数${f}'\left(x\right)=3{x}^{2}+1$，由于${f}'\left(x\right)\gt 0$，所以函数$f\left(x\right)$在$R$上是增函数。
步骤 3：确定函数$f\left(x\right)$的零点所在区间
计算$f\left(0\right)=-1\lt 0$和$f\left(1\right)=1+1-1=1\gt 0$，由于函数$f\left(x\right)$在$R$上是增函数，且$f\left(0\right)\lt 0$，$f\left(1\right)\gt 0$，所以函数$f\left(x\right)$在$\left(0,1\right)$上有唯一零点，即原方程${x}^{3}=1-x$在区间$\left(0,1\right)$上有一个实根。
将方程${x}^{3}=1-x$转换为函数形式$f\left(x\right)={x}^{3}+x-1$，这样我们可以通过分析函数$f\left(x\right)$的性质来确定方程的实根。
步骤 2：分析函数$f\left(x\right)$的单调性
计算函数$f\left(x\right)$的导数${f}'\left(x\right)=3{x}^{2}+1$，由于${f}'\left(x\right)\gt 0$，所以函数$f\left(x\right)$在$R$上是增函数。
步骤 3：确定函数$f\left(x\right)$的零点所在区间
计算$f\left(0\right)=-1\lt 0$和$f\left(1\right)=1+1-1=1\gt 0$，由于函数$f\left(x\right)$在$R$上是增函数，且$f\left(0\right)\lt 0$，$f\left(1\right)\gt 0$，所以函数$f\left(x\right)$在$\left(0,1\right)$上有唯一零点，即原方程${x}^{3}=1-x$在区间$\left(0,1\right)$上有一个实根。