当x→0时，xsin ax^2和sqrt(1-x^3)-1是等价无穷小，则a=（ ）A. 0B. 1C. (1)/(2)D. -(1)/(2)

考查要点：本题主要考查等价无穷小的替换规则及其在极限问题中的应用，需要掌握常见函数的泰勒展开式。

解题核心思路：

1. 确定两个无穷小的主部：将两个表达式分别展开到最低次项，找到它们的主部（即最高阶的无穷小项）。
2. 比较主部系数：根据等价无穷小的定义，两个无穷小的主部系数必须相等，从而解出参数$a$的值。

破题关键点：

• 正确展开$\sin(ax^2)$和$\sqrt{1-x^3}-1$的泰勒多项式，保留到$x^3$项。
• 忽略高阶无穷小，仅保留主部进行比较。

步骤1：展开$x \sin(ax^2)$

当$x \to 0$时，$ax^2 \to 0$，利用$\sin t \sim t$（$t \to 0$），可得：
$x \sin(ax^2) \sim x \cdot ax^2 = a x^3.$

步骤2：展开$\sqrt{1-x^3} - 1$

令$u = -x^3$，则$\sqrt{1+u} - 1$的泰勒展开为：
$\sqrt{1+u} - 1 \sim \frac{1}{2}u - \frac{3}{8}u^2 + \cdots.$
代入$u = -x^3$，保留到$x^3$项：
$\sqrt{1-x^3} - 1 \sim \frac{1}{2}(-x^3) = -\frac{1}{2}x^3.$

步骤3：等价无穷小条件

根据等价无穷小定义，两表达式的主部系数相等：
$a x^3 \sim -\frac{1}{2}x^3 \implies a = -\frac{1}{2}.$