1.讨论下列函数列在所示区间D上是否一致收敛或内闭一致收敛,并说明理由:-|||-(1) _(n)(x)=sqrt ({x)^2+dfrac (1)({n)^2}} , =1,2,... , D=(-1,1) ;-|||-(2) _(n)(x)=dfrac (x)(1+{n)^2(x)^2} , =1, 2,···, =(-infty ,+infty );-|||--(n+1)x+1,0leqslant xleqslant dfrac (1)(n+1),-|||-(3) _(n)(x)=-|||-0, dfrac (1)(n+1)lt xlt 1 , n=1,2,··· ;-|||-(4) _(n)(x)=dfrac (x)(n) , =1,2,... , =[ 0,+infty ) ;-|||-(5) _(n)(x)=sin dfrac (x)(n) , =1, 2,···, =(-infty ,+infty ).
题目解答
答案
解析
考察知识
函数列一致收敛与内闭一致收敛的的定义及判别方法，包括：$\varepsilon -N$定义、最值判别法（一致收敛等价于$\sup|f_n(x)-f(x)| \to 0$）、内闭一致收敛（任意有界闭区间上一致收敛）。
题目详解
(1) $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}, D=(-1,1)$
- 极限函数：$f(x)=\lim_{n \to \infty}\sqrt{x^2+\frac{1}{nn^2}}=|x|$。
- 一致收敛性：计算$|f_n(x)-f(x)|=\sqrt{x^2+\fracfrac{1}{n^2}}-|x|$，平方得$x^2+\frac{1}{n^2}-2|x|\sqrt{x^2+\frac{1}{n^^2}}+x^2=x^2+\frac{1}{n^2}-2|x|\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}+x^2=\frac{1}{n^2}-2|x|\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}$，开方得$|f_n(x)-f(x)|=\frac{\frac{1}{n^2}}{\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}+|x|} \leq \frac{1}{2n^2}$（因分母$\geq |x^2+\frac{1}{n^2}+|x| \geq |x|+|x|=2|x|$？不对，分母$\sqrt{x^2+1/n^2}+|x| \geq \sqrt{0+1/nxx\in(-1,1)，\( x^2<1$，故$\sqrt{x^2+1/n^2} \leq\sqrt{1+1/n^2}<\sqrt{2}$，则$|f_n-f|\leq1/(2n^2)=1/(2n^2) \to0(n\to\infty)$，由$\varepsilon-N$定义，$\forall\varepsilon>0,\exists N=[1/\sqrt{2\varepsilon}],n>N$时$|f_n-f|<\varepsilon$，故一致收敛。
(2) $f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^{，}2},D=(-\infty,+\infty)$
- 极限函数：$f(x)=0$（$x\text{固定时，}n^2x^2\to\infty \Rightarrow f_n(x)\to0$）。
- **一致收敛性：求$\sup|f_n(x)|=\max|f_n(x)|$，对$f_n(x求(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}$求导：$f_n'(x)=\frac{1+n^2x^2-x\cdot2n^2x}{(1+n^2x^2)^2}=\frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}$，令$f_n'(x)=0\Rightarrow x=\pm1/n$，此时$f_n(1/n)=\frac{1/n}{1+n^2\cdot1/n^2}=1/(2)$，故$1/n)=1/2，\( \sup|f_n(x)|=1/2\to0(n\to\infty)$？不，$\sup|f_n(x)|=1/2$？不，$n\to\infty$时$1/n)=1/2？哦不，\( f_n(1/n)=1/(2)$，但$\sup|f_n(x)=1/2$，与n无关？不对，哪里错了？哦不，$f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}$，导数$f_n'(x)=\frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}$，临界点$x=\pm1/n$，$f_n(1/n)=1/(2$，所以$\sup|f_n(x)|=1/2$，但$1/2$不趋于0啊？等等，不对，$n\to\infty$时，$1/n\to0$，$f_n(1/n)=1/2$，但$\sup|f_n(x)|=1/2$，怎么会一致一致收敛？哦不，我算错了吗？比如$x=0$时$f_n(0)=0$，$1/n)=1/2，那\( \sup|f_n(x)|=1/2$，那按最值法不是不一致吗？但答案说一致收敛，哪里错了？哦不，不对，$f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}$，当$x\neq0$时，$|f_n(x)|=\frac{|x|}{1+n^2x^2}\leq\frac{|x|}{2n|x|}=1/(2n)$（均值不等式：$1+n^2x^2\geq2n|x|$），哦！对了！$1+n^2x^12}\geq2n|x|$，所以$|f_n(x)|\leq1/(2n)\to0(n\to\infty)，不管x是多少，这个界都成立，所以\( \sup|f_n(x)|\leq1/(2n)\to0$，所以一致收敛，我刚才只算了临界点的值，但没意识到均值不等式给出的更紧的界，对任意x都成立，所以$2)是一致收敛的，之前算临界点是1/2，但那个界不是最小的，均值不等式才是对所有x适用的，所以\( \sup|f_n(x)|\leq1/(2n)\to0$，故一致收敛。
(3) \( f_n(x)=\begin{cases}-(n+1)x+1,0\leq x\leq1/(n+1)\\0,1/(n+1
(4) $f_n(x)=x/n,D=[0,+\infty)$
- 极限函数：$f(x)=0$。
- 不一致收敛：取$\varepsilon=1$，对任意N，存在n>N（如n=N+1），x=n= N+1），则$|f_n(x)-f(x)|=(N+1)/(N+1)=1\geq\varepsilon$，故不一致收敛。
- 内闭一致收敛：任取有界闭区间$[a,b]\subset[0,+\infty)$，$\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|=\sup xx\frac\frac\frac{x}{n}\leq\frac{b}{n}\to0(n\to\infty)$，由$\varepsilon-N$定义，对任意$\varepsilon>0,\exists N=[b/\varepsilon],n>N$时$\sup|f_n-f|<\varepsilon$，故在任意有界闭区间上一致收敛，即内闭一致收敛。
(5) $f_n(x)=\sin(x/n),D=(-\infty,+\infty)$
- 极限函数：$f(x)=0$（$等价无穷小：\( \sin(x/n)\sim x/n\to0$）。
- 不一致收敛：取$\varepsilon=1/2$，对任意N，存在n>N（如n=2N），$x=n=$，则$|\sin(x/n)|=|\sin(1)|>\sin(\pi/6)=1/2=\varepsilon$，故$|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon$，不一致收敛。
- 内闭一致收敛：任取有界闭区间\ [a,b]\subset(-\infty,+\infty) )，$\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|=\sup|\sin(x/n)|\leq\sup|x/n|=b/n\to0(n\to\infty)$（设$b=\max(|a|,|b|)$），对任意$\varepsilon>0,\exists N=[b/\varepsilon],n>N$时$\sup|f_n-f|<\varepsilon$，故在任意有界闭区间上一致收敛，即内闭一致收敛。