题目
幂级数 sum_(n=1)^infty ((x-2020)^n)/(sqrt(n)) 的收敛域是(): A [2019, 2021]; B [-2020, 2020]; C [2019, 2021]; D (2019, 2021)。
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2020)^n}{\sqrt{n}}$ 的收敛域是():
A [2019, 2021];
B [-2020, 2020];
C [2019, 2021];
D (2019, 2021)。
题目解答
答案
利用比值测试确定收敛半径：
\[
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x-2020| < 1 \implies 2019 < x < 2021.
\]
端点分析：
- 当 $x = 2019$ 时，级数为 $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，由莱布尼茨判别法收敛。
- 当 $x = 2021$ 时，级数为 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$，为发散的 $p$-级数（$p = \frac{1}{2} \leq 1$）。
因此，收敛域为 $[2019, 2021)$，对应选项 **A**。
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定收敛半径
使用比值测试确定幂级数的收敛半径。比值测试的公式为：\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-2020)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{(x-2020)^n}{\sqrt{n}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-2020)}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}} \right| = |x-2020| \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}} = |x-2020|. \] 为了使级数收敛，比值测试的结果必须小于1，即 $|x-2020| < 1$，从而得到 $2019 < x < 2021$。因此，收敛半径为1，收敛区间为 $(2019, 2021)$。
步骤 2：检查端点
- 当 $x = 2019$ 时，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，如果级数的项绝对值单调递减且趋于0，则级数收敛。由于 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减且趋于0，所以级数在 $x = 2019$ 时收敛。
- 当 $x = 2021$ 时，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$。这是一个 $p$-级数，其中 $p = \frac{1}{2} \leq 1$，因此级数发散。
步骤 3：确定收敛域
根据上述分析，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2020)^n}{\sqrt{n}}$ 在 $x = 2019$ 时收敛，在 $x = 2021$ 时发散。因此，收敛域为 $[2019, 2021)$。
使用比值测试确定幂级数的收敛半径。比值测试的公式为：\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(x-2020)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\frac{(x-2020)^n}{\sqrt{n}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x-2020)}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}} \right| = |x-2020| \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}} = |x-2020|. \] 为了使级数收敛，比值测试的结果必须小于1，即 $|x-2020| < 1$，从而得到 $2019 < x < 2021$。因此，收敛半径为1，收敛区间为 $(2019, 2021)$。
步骤 2：检查端点
- 当 $x = 2019$ 时，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，如果级数的项绝对值单调递减且趋于0，则级数收敛。由于 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减且趋于0，所以级数在 $x = 2019$ 时收敛。
- 当 $x = 2021$ 时，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$。这是一个 $p$-级数，其中 $p = \frac{1}{2} \leq 1$，因此级数发散。
步骤 3：确定收敛域
根据上述分析，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2020)^n}{\sqrt{n}}$ 在 $x = 2019$ 时收敛，在 $x = 2021$ 时发散。因此，收敛域为 $[2019, 2021)$。