题目
求不定积分int((dx)/({{rm e)^x)+({rm e)^-x}}}．
求不定积分$\int{\frac{dx}{{{\rm e}^{x}}+{{\rm e}^{-x}}}}$．
题目解答
答案
$\arctan {{\rm e}^{x}}+C$．
解析
步骤 1：化简被积函数
首先，我们注意到被积函数$\frac{1}{{{\rm e}^{x}}+{{\rm e}^{-x}}}$可以被化简。由于${{\rm e}^{-x}}=\frac{1}{{{\rm e}^{x}}}$，我们可以将被积函数写为$\frac{{{\rm e}^{x}}}{{{\rm e}^{2x}}+1}$。
步骤 2：代换
为了简化积分，我们使用代换$u={{\rm e}^{x}}$，则$du={{\rm e}^{x}}dx$。因此，原积分变为$\int{\frac{du}{{u}^{2}+1}}$。
步骤 3：积分
现在，我们有一个标准形式的积分$\int{\frac{du}{{u}^{2}+1}}$，其结果是$\arctan u+C$。将$u={{\rm e}^{x}}$代回，得到$\arctan {{\rm e}^{x}}+C$。
首先，我们注意到被积函数$\frac{1}{{{\rm e}^{x}}+{{\rm e}^{-x}}}$可以被化简。由于${{\rm e}^{-x}}=\frac{1}{{{\rm e}^{x}}}$，我们可以将被积函数写为$\frac{{{\rm e}^{x}}}{{{\rm e}^{2x}}+1}$。
步骤 2：代换
为了简化积分，我们使用代换$u={{\rm e}^{x}}$，则$du={{\rm e}^{x}}dx$。因此，原积分变为$\int{\frac{du}{{u}^{2}+1}}$。
步骤 3：积分
现在，我们有一个标准形式的积分$\int{\frac{du}{{u}^{2}+1}}$，其结果是$\arctan u+C$。将$u={{\rm e}^{x}}$代回，得到$\arctan {{\rm e}^{x}}+C$。