计算 int_(C) Re(z) , dz，其中 C 为(1) 从原点到点 1+i 的直线段.(2) 抛物线 y=x^2 上从原点到点 1+i 的弧段.(3) 从原点沿 x 轴到点 1 再到 1+i 的折线.

我们来依次计算复平面上的积分：

$\int_C \operatorname{Re}(z) \, dz$

其中 $ z = x + iy $，所以 $ \operatorname{Re}(z) = x $，积分可以写为：

$\int_C x \, dz$

(1) 从原点到点 $1+i$ 的直线段

参数化曲线

从原点 $0$ 到点 $1+i$ 的直线段可以参数化为：

$z(t) = t(1+i), \quad t \in [0,1]$

所以：

• $ x(t) = \operatorname{Re}(z(t)) = t $
• $ dz = z'(t) dt = (1+i) dt $

代入积分：

$\int_C x \, dz = \int_0^1 t (1+i) \, dt = (1+i) \int_0^1 t \, dt = (1+i) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1+i}{2}$

(2) 抛物线 $y = x^2$ 上从原点到点 $1+i$ 的弧段

参数化曲线

我们可以用 $x$ 作为参数：

• $ x = t $
• $ y = t^2 $
• $ z(t) = t + it^2 $, $ t \in [0,1] $

所以：

• $ x(t) = t $
• $ dz = z'(t) dt = (1 + 2it) dt $

代入积分：

$\int_C x \, dz = \int_0^1 t (1 + 2it) \, dt = \int_0^1 (t + 2i t^2) \, dt$

分别计算实部和虚部：

• 实部：$\int_0^1 t \, dt = \frac{1}{2}$
• 虚部：$\int_0^1 2i t^2 \, dt = 2i \cdot \frac{1}{3} = \frac{2i}{3}$

所以：

$\int_C x \, dz = \frac{1}{2} + \frac{2i}{3}$

(3) 从原点沿 $x$ 轴到点 $1$ 再到 $1+i$ 的折线

我们把路径分成两段：

第一段：从 $0$ 到 $1$（沿 $x$ 轴）

参数化为：

• $ z(t) = t $, $ t \in [0,1] $
• $ x(t) = t $
• $ dz = dt $

积分：

$\int_0^1 t \, dt = \frac{1}{2}$

第二段：从 $1$ 到 $1+i$（垂直向上）

参数化为：

• $ z(t) = 1 + it $, $ t \in [0,1] $
• $ x(t) = 1 $
• $ dz = i dt $

积分：

$\int_0^1 1 \cdot i \, dt = i \cdot 1 = i$

合并两段：

$\int_C x \, dz = \frac{1}{2} + i$

最终答案汇总：

1. 直线段：$\boxed{\frac{1+i}{2}}$

2. 抛物线段：$\boxed{\frac{1}{2} + \frac{2i}{3}}$

3. 折线段：$\boxed{\frac{1}{2} + i}$