设0＜a＜b，证明不等式(2a)/((a)^2+{b)^2}＜(lnb-lna)/(b-a)＜(1)/(sqrt(ab))．

本题考查利用导数证明不等式的能力，核心思路是分段处理，分别证明中间表达式介于左右两边。

• 左边部分：利用拉格朗日中值定理，将中间表达式转化为某点导数值，结合导数的单调性比较大小。
• 右边部分：通过变量替换将不等式转化为关于$x>1$的函数形式，构造辅助函数，分析其单调性和导数符号，从而证明不等式成立。

证明左边不等式 $\frac{2a}{a^2 + b^2} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a}$

应用拉格朗日中值定理

设$f(x) = \ln x$，则$f(x)$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，存在$c \in (a, b)$使得：
$f'(c) = \frac{\ln b - \ln a}{b - a}$
其中$f'(x) = \frac{1}{x}$，且$f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$，说明$f'(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减。

比较导数值

由$a < c < b$，得$f'(c) > f'(b) = \frac{1}{b}$，即：
$\frac{\ln b - \ln a}{b - a} > \frac{1}{b}$
又因$\frac{2a}{a^2 + b^2} < \frac{2a}{2ab} = \frac{1}{b}$（因$a^2 + b^2 > 2ab$），故：
$\frac{2a}{a^2 + b^2} < \frac{1}{b} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a}$

证明右边不等式 $\frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{\sqrt{ab}}$

变量替换

令$x = \frac{b}{a} > 1$，则$b = ax$，原不等式转化为：
$\ln x < \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

构造辅助函数

设$g(x) = \ln x - \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$，计算导数：
$g'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x^{3/2}} = \frac{-(\sqrt{x} - 1)^2}{2x^{3/2}} < 0$
说明$g(x)$在$x > 1$时单调递减，故$g(x) < g(1) = 0$，即：
$\ln x < \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$
代回原变量得$\frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{\sqrt{ab}}$。