题目

判断题（共10题，10.0分）题型说明：共10题，每题1分。48. (1.0分) (e^x)^prime=e/xA 对B 错

判断题（共10题，10.0分） 题型说明：共10题，每题1分。 48. (1.0分) $(e^{x})^{\prime}=e/x$ A 对 B 错

题目解答

答案

根据导数公式，指数函数 $e^x$ 的导数为 $e^x$，即 $(e^x)' = e^x$。题目中给出的表达式为 $(e^x)' = e/x$，与正确公式不符。 通过导数定义推导： \[ (e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x \] 因此，题目表达式错误。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题考查指数函数求导的知识点。解题思路是先明确指数函数$e^x$求导的基本公式，再通过导数的定义法对$(e^x)'$进行推导，最后将推导结果与题目所给式子进行对比判断对错。

  1. 明确基本求导公式：
    根据求导公式，指数函数$e^x$的导数为$e^x$，即$(e^x)' = e^x$。
  2. 通过导数定义法推导$(e^x)'$：
    根据导数的定义，函数$f(x)$在某点的导数$f^\prime(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$，对于$f(x)=e^x$，则有：
    $(e^x)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}$
    对分子提取公因式$e^x$可得：
    $(e^x)' = \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}=e^x \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$
    根据重要极限$\lim\limits_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}=1$，所以$(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$。
  3. 对比判断：
    题目中给出的表达式为$(e^x)' = \frac{e}{x}$，与我们通过公式和定义法推导得出的$(e^x)' = e^x$不符，所以该判断题的说法是错误的。