题目
方程x''-2x'+x=t-2的常数变易法的特解中的c_1(t),c_2(t)满足（）。A. {e^tc_1'(t)+te^tc_2'(t)=t-2 e^tc_1'(t)+(t+1)e^tc_2'(t)=0.
方程$x''-2x'+x=t-2$的常数变易法的特解中的$c_1(t),c_2(t)$满足（）。
A. $\left\{\begin{array}{l}e^tc_1'(t)+te^tc_2'(t)=t-2 \\ e^tc_1'(t)+(t+1)e^tc_2'(t)=0\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{l}e^tc_1(t)+te^tc_2(t)=t-2 \\ e^tc_1(t)+(t+1)e^tc_2(t)=0\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{l}e^tc_1'(t)+te^tc_2'(t)=0 \\ e^tc_1'(t)+(t+1)e^tc_2'(t)=t-2\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{l}e^tc_1(t)+te^tc_2(t)=0 \\ e^tc_1(t)+(t+1)e^tc_2(t)=t-2\end{array}\right.$
题目解答
答案
C. $\left\{\begin{array}{l}e^tc_1'(t)+te^tc_2'(t)=0 \\ e^tc_1'(t)+(t+1)e^tc_2'(t)=t-2\end{array}\right.$
解析
步骤 1：求解齐次方程的通解
首先，我们求解齐次方程 $x'' - 2x' + x = 0$ 的通解。特征方程为：\[r^2 - 2r + 1 = 0 \implies (r-1)^2 = 0.\] 特征根为 $r = 1$（重根），因此齐次方程的通解为：\[x_h(t) = c_1 e^t + c_2 t e^t.\]
步骤 2：假设特解的形式
为了找到非齐次方程 $x'' - 2x' + x = t - 2$ 的特解，我们假设特解形式为：\[x_p(t) = c_1(t) e^t + c_2(t) t e^t,\] 其中 $c_1(t)$ 和 $c_2(t)$ 是待确定的函数。
步骤 3：确定 $c_1(t)$ 和 $c_2(t)$ 的条件
为了确定 $c_1(t)$ 和 $c_2(t)$，我们使用常数变易法的条件：\[c_1'(t) e^t + c_2'(t) t e^t = 0,\] \[c_1'(t) e^t + c_2'(t) (t e^t + e^t) = t - 2.\] 这些条件确保了当我们对 $x_p(t)$ 进行微分时，高阶导数的项被简化。
步骤 4：写出方程组
将这些条件写成方程组：\[\begin{cases}e^t c_1'(t) + t e^t c_2'(t) = 0, \\ e^t c_1'(t) + (t+1) e^t c_2'(t) = t-2.\end{cases}\] 这个方程组与选项C相匹配。
首先，我们求解齐次方程 $x'' - 2x' + x = 0$ 的通解。特征方程为：\[r^2 - 2r + 1 = 0 \implies (r-1)^2 = 0.\] 特征根为 $r = 1$（重根），因此齐次方程的通解为：\[x_h(t) = c_1 e^t + c_2 t e^t.\]
步骤 2：假设特解的形式
为了找到非齐次方程 $x'' - 2x' + x = t - 2$ 的特解，我们假设特解形式为：\[x_p(t) = c_1(t) e^t + c_2(t) t e^t,\] 其中 $c_1(t)$ 和 $c_2(t)$ 是待确定的函数。
步骤 3：确定 $c_1(t)$ 和 $c_2(t)$ 的条件
为了确定 $c_1(t)$ 和 $c_2(t)$，我们使用常数变易法的条件：\[c_1'(t) e^t + c_2'(t) t e^t = 0,\] \[c_1'(t) e^t + c_2'(t) (t e^t + e^t) = t - 2.\] 这些条件确保了当我们对 $x_p(t)$ 进行微分时，高阶导数的项被简化。
步骤 4：写出方程组
将这些条件写成方程组：\[\begin{cases}e^t c_1'(t) + t e^t c_2'(t) = 0, \\ e^t c_1'(t) + (t+1) e^t c_2'(t) = t-2.\end{cases}\] 这个方程组与选项C相匹配。