题目
一汽车到达目的地的途中需经过 个装有红绿灯的交叉路口，假设在各交叉路口遇到红灯的概率均为 ， 且各交叉路口出现红灯是相互独立的，求汽车首次停止时已经经过的交叉路口数 的分布律和分布函数。
一汽车到达目的地的途中需经过 
个装有红绿灯的交叉路口，假设在各交叉路口遇到红灯的概率均为 
， 且各交叉路口出现红灯是相互独立的，求汽车首次停止时已经经过的交叉路口数 
的分布律和分布函数。
题目解答
答案
∵由题可得
的可能取值
∴ 的分布律
∴ 的分布函数
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
汽车首次停止时已经经过的交叉路口数 $X$ 可以看作是首次遇到红灯的次数减一。由于在各交叉路口遇到红灯的概率均为 $0.3$，且各交叉路口出现红灯是相互独立的，因此 $X+1$ 服从几何分布 $Ge(0.3)$，即 $X+1 \sim Ge(0.3)$。因此，$X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$。
步骤 2：计算分布律
根据几何分布的定义，$X+1$ 的分布律为 $P(X+1=k) = (1-p)^{k-1}p$，其中 $p=0.3$。因此，$X$ 的分布律为：
$P(X=0) = P(X+1=1) = 0.3$
$P(X=1) = P(X+1=2) = 0.7 \times 0.3 = 0.21$
$P(X=2) = P(X+1=3) = 0.7^2 \times 0.3 = 0.147$
$P(X=3) = P(X+1=4) = 0.7^3 \times 0.3 = 0.1029$
$P(X=4) = P(X+1=5) = 0.7^4 \times 0.3 = 0.07203$
步骤 3：计算分布函数
分布函数 $F(X)$ 是随机变量 $X$ 小于等于某个值的概率。因此，$F(X)$ 可以通过累加分布律来计算：
$F(X) = 0$，$X < 0$
$F(X) = 0.3$，$0 \leq X < 1$
$F(X) = 0.3 + 0.21 = 0.51$，$1 \leq X < 2$
$F(X) = 0.51 + 0.147 = 0.657$，$2 \leq X < 3$
$F(X) = 0.657 + 0.1029 = 0.7599$，$3 \leq X < 4$
$F(X) = 0.7599 + 0.07203 = 0.83193$，$4 \leq X < 5$
$F(X) = 1$，$X \geq 5$
汽车首次停止时已经经过的交叉路口数 $X$ 可以看作是首次遇到红灯的次数减一。由于在各交叉路口遇到红灯的概率均为 $0.3$，且各交叉路口出现红灯是相互独立的，因此 $X+1$ 服从几何分布 $Ge(0.3)$，即 $X+1 \sim Ge(0.3)$。因此，$X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$。
步骤 2：计算分布律
根据几何分布的定义，$X+1$ 的分布律为 $P(X+1=k) = (1-p)^{k-1}p$，其中 $p=0.3$。因此，$X$ 的分布律为：
$P(X=0) = P(X+1=1) = 0.3$
$P(X=1) = P(X+1=2) = 0.7 \times 0.3 = 0.21$
$P(X=2) = P(X+1=3) = 0.7^2 \times 0.3 = 0.147$
$P(X=3) = P(X+1=4) = 0.7^3 \times 0.3 = 0.1029$
$P(X=4) = P(X+1=5) = 0.7^4 \times 0.3 = 0.07203$
步骤 3：计算分布函数
分布函数 $F(X)$ 是随机变量 $X$ 小于等于某个值的概率。因此，$F(X)$ 可以通过累加分布律来计算：
$F(X) = 0$，$X < 0$
$F(X) = 0.3$，$0 \leq X < 1$
$F(X) = 0.3 + 0.21 = 0.51$，$1 \leq X < 2$
$F(X) = 0.51 + 0.147 = 0.657$，$2 \leq X < 3$
$F(X) = 0.657 + 0.1029 = 0.7599$，$3 \leq X < 4$
$F(X) = 0.7599 + 0.07203 = 0.83193$，$4 \leq X < 5$
$F(X) = 1$，$X \geq 5$