【题目】-|||-11. lim _(xarrow 0)dfrac (tan 2x)(sqrt {1+x)-1} .-|||-请输 案

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用等价无穷小替换或洛必达法则处理0/0型不定式的能力。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子$\tan 2x$和分母$\sqrt{1+x}-1$均趋近于0，属于0/0型不定式。可通过以下两种方法解决：

1. 等价无穷小替换：将$\tan 2x \sim 2x$和$\sqrt{1+x}-1 \sim \dfrac{1}{2}x$代入，直接化简求极限。
2. 洛必达法则：对分子分母分别求导后计算极限。

破题关键点：

• 识别等价无穷小的形式，快速化简表达式。
• 正确应用有理化技巧处理分母中的根式。

方法一：等价无穷小替换

1. 分子替换：当$x \rightarrow 0$时，$\tan 2x \sim 2x$。
2. 分母替换：当$x \rightarrow 0$时，$\sqrt{1+x}-1 \sim \dfrac{1}{2}x$（通过泰勒展开或有理化推导）。
3. 代入化简：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan 2x}{\sqrt{1+x}-1} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{2x}{\dfrac{1}{2}x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{2x}{\dfrac{1}{2}x} = 4$

方法二：洛必达法则

1. 验证条件：分子$\tan 2x \rightarrow 0$，分母$\sqrt{1+x}-1 \rightarrow 0$，满足0/0型不定式。
2. 求导分子分母：
   • 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(\tan 2x) = 2\sec^2 2x$
   • 分母导数：$\dfrac{d}{dx}(\sqrt{1+x}-1) = \dfrac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$
3. 代入$x=0$计算：
   $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{2\sec^2 2x}{\dfrac{1}{2}(1+x)^{-1/2}} = \dfrac{2 \cdot 1}{\dfrac{1}{2} \cdot 1} = 4$