设 y = x arcsin x，则 dy = ( )。A. (arcsin x cdot (x)/(sqrt(1 - x^2))) dxB. arcsin x cdot (x)/(sqrt(1 - x^2))C. arcsin x + (x)/(sqrt(1 - x^2))D. (arcsin x + (x)/(sqrt(1 - x^2))) dx

本题考查函数求微分的知识，解题思路是先根据乘积的求导法则求出函数$y = x \arcsin x$的导数$y^\prime$，再根据微分的定义$dy=y^\prime dx$求出$dy$。

步骤一：求$y = x \arcsin x$的导数$y^\prime$

根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，设$u = x$，$v = \arcsin x$。

• 求$u^\prime$：
  对$u = x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u^\prime=(x)^\prime = 1$。
• 求$v^\prime$：
  对$v = \arcsin x$求导，根据求导公式$(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$，可得$v^\prime = (\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$。
• 求$y^\prime$：
  将$u^\prime = 1$，$v = \arcsin x$，$u = x$，$v^\prime = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$代入乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得：
  $y^\prime=(x \arcsin x)^\prime=(x)^\prime\arcsin x + x(\arcsin x)^\prime=1\times\arcsin x + x\times\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

步骤二：求$dy$

根据微分的定义$dy=y^\prime dx$，将$y^\prime=\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$代入可得：
$dy = (\arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}) dx$